Математика. Абубакиров Н.Р - 83 стр.

             §3.6. Неопределенный интеграл, таблица интегралов. Методы
                                интегрирования

     Первообразной функции f ( x ) называется функция F  x  , производная
которой равна f  x  , т.е. F '  x   f  x  .

    Пример. Первообразной для функции cos x является функция sin x ,
потому что (sin x)  cos x .

     Поскольку  F  x   C  '  f  x  , где C  произвольная                 постоянная, у
любой функции f  x  бесчисленное множество первообразных.

     Теорема. Любые две первообразные функции f  x  могут отличаться
только     на     постоянную.         Другими         словами,      если     F ' x  f  x   и
  x   f  x  , то F  x     x   C  Const.

     Доказательство.            Обозначим             ( x)  F  x     x  .      Согласно
предположению  '( x )  0. Следовательно, для  a, b имеем:

                 (b)  ( a)  (формула Лагранжа) 

       '(c)(b  a)  0          (b)  (a)  Const .
     Множество          всех      первообразных            одной        функции      называется
неопределенным интегралом этой функции и обозначается
                                                                                       f ( x)dx ,
причем       f  x     называется        подынтегральной             функцией,       f  x  dx 
подынтегральным выражением.

     Как и производная, интеграл обладает свойством линейности:

       k  f ( x)  l  g ( x) dx  k   f ( x) dx  l   g ( x) dx .
    При изучении темы «Производная» мы запоминали таблицу производных
элементарных функций. Сейчас мы должны будем пользоваться таблицей
неопределенных интегралов. Эта таблица легко строится с использованием
таблицы производных: для того, чтобы проверить правильность формул новой
таблицы достаточно взять производную от правой части и сравнить с
подынтегральной    функцией.      Например,     чтобы    доказать,   что
                                                 83