Математика. Абубакиров Н.Р - 86 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

86
2) Вычислить
22
sin cos
dx
xx
. Воспользовавшись тождеством
22
1 cos sinxx
и почленным делением, получим
22
2 2 2 2 2 2 2 2
1 cos sin
sin cos sin cos sin cos sin cos
ctg tg .
dx x x dx dx
dx dx
x x x x x x x x
x x C

Чтобы проверить результат с помощью компьютера, введем задание
integrate(1/(sin(x)*cos(x))^2,x) и нажмем Shift+Enter.
3) Вычислить
4
2
1
x
dx
x
. Мы не изменим подынтегральную функцию, если
вычтем и прибавим в числителе 1. Разность
4
1x
представим в виде
22
( 1) ( 1)xx
и затем числитель почленно разделим на знаменатель:
22
44
2
2 2 2 2
3
2
2
( 1)(1 ) 1
1 1 1
( 1)
1 1 1 1
arctg .
3
1
xx
xx
dx dx dx x dx dx
x x x x
dx x
x dx dx x x C
x

Чтобы проверить результат на компьютере, введем
integrate(x^4/(1+x^2),x) и нажмем Shift+Enter.
Метод замены переменной в неопределенном интеграле
Докажем следующее утверждение: если первообразной для функции
()fx
является функция
, то первообразной для
()f ax b
является функция
1
()F ax b
a

. Действительно, поскольку
( ) ( )F x f x
, получим
11
( ( )) ( ) ( )F ax b F ax b a f ax b
aa

.
Того же эффекта мы добьемся, если введем новую переменную
t ax b
.
Тогда, взяв дифференциалы от обеих частей, последнего равенства, получим
()dt d ax b a dx
. Поэтому
1
dx dt
a
и
()
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) .f ax b dx f t dt f t dt F t C F ax b C
a a a a


                                dx
     2) Вычислить         sin x  cos2 x
                              2
                                          . Воспользовавшись тождеством

1  cos x  sin x и почленным делением, получим
       2         2



         dx                               cos2 x  sin 2 x        dx         dx
 sin 2 x  cos2 x  sin 2 x  cos2 x  sin 2 x  cos2 x dx   sin 2 x  cos2 x 
                             1
                                    dx 

 ctgx  tgx  C.

     Чтобы проверить результат с помощью компьютера, введем задание
integrate(1/(sin(x)*cos(x))^2,x) и нажмем Shift+Enter.

                           x4
     3) Вычислить        1 x2 dx . Мы не изменим подынтегральную функцию, если
вычтем и прибавим в числителе 1. Разность x4 1 представим в виде
( x2 1)  ( x2 1) и затем числитель почленно разделим на знаменатель:
   x4         x 4 1  1      ( x2 1)(1  x2 ) 1                        1
 1 x2 dx   1 x2 dx           1 x  2
                                                  dx   ( x2 1)dx  
                                                                        1 x2
                                                                              dx 
                     dx    x3
  x2dx   dx             x  arctgx  C.
                    1 x2 3
     Чтобы проверить результат на компьютере, введем
integrate(x^4/(1+x^2),x) и нажмем Shift+Enter.

Метод замены переменной в неопределенном интеграле

     Докажем следующее утверждение: если первообразной для функции f ( x)
является функция F ( x) , то первообразной для f (ax  b) является функция
1
   F (ax  b) . Действительно, поскольку F ( x)  f ( x) , получим
a
                      1                1
                     (  F (ax  b))   F (ax  b)  a  f (ax  b) .
                      a                a
    Того же эффекта мы добьемся, если введем новую переменную t  ax  b .
Тогда, взяв дифференциалы от обеих частей, последнего равенства, получим
                                             1
dt  d (ax  b)  a  dx . Поэтому dx  dt и
                                             a
                          1     1              1              1
 f (ax  b)dx   f (t ) adt  a  f (t )dt  a F (t )  C  a F (ax  b)  C.



                                               86

Страницы