Математика. Абубакиров Н.Р - 88 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

88
2) Найти
tgxdx
. Сделаем замену
cos , sint x dt xdx
. Тогда
tg
sin sin
ln| | ln|cos | .
cos cos
xdx
x xdx dt
dx t C x C
x x t
.
3) Найти
2
x
e xdx
. Сделаем замену
2
xt
. Тогда
2xdx dt
и
22
.
1 1 1
2 2 2
x t t x
e xdx e dt e C e C


Метод интегрирования по частям
Запишем известное соотношение
( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( )u x v x u x v x u x v x
и
проинтегрируем его. Очевидно, что первообразной для функции
является
функция
()fx
. Поэтому получим
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )u x v x C u x v x dx u x v x dx


.
Следовательно, справедлива формула:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )u x v x dx u x v x u x v x dx C


. Это и есть формула интегрирования
по частям.
Примеры.
1) Найти
x
e xdx
. Обозначим
( ), ( )
x
x u x v x e
. Тогда
( ) , ( ) 1
x
v x e u x
.
Применяя формулу интегрирования по частям, получим
( 1)
x x x x
e xdx x e e dx e x C

.
2) Найти
2
(ln )x dx
В этом примере мы применим метод интегрирования
по частям дважды:
2
2 2 2
2
2
1
(ln ) , 2ln ,
(ln ) (ln ) 2 ln (ln )
1,
1
ln ,
2 ln (ln ) 2( ln )
1,
(ln ) 2 ln 2 .
u x u x
x
x dx x x x dx x x
x
x
v v x
u x u
x
xdx x x x x dx
x
x
v v x
x x x x x C















Проверим решение с помощью компьютера: введем
integrate((log(x))^2, x) и нажмем Shift+Enter. 
      2) Найти  tgx dx . Сделаем замену t  cos x, dt   sin xdx . Тогда
                    sin x        sin xdx     dt
 tgx dx   cos xdx            cos x
                                             ln | t | C   ln | cos x | C. .
                                             t

      3) Найти  e x xdx . Сделаем замену  x2  t . Тогда 2xdx  dt и
                             2




                            1 t         1 t         1  x2
        e xdx            2
          x
                                                 e  C.
                2
                               e dt       e   C
                                        2           2
Метод интегрирования по частям

       Запишем известное соотношение (u( x)  v( x))  u( x)  v( x)  u( x)  v( x) и
проинтегрируем его. Очевидно, что первообразной для функции f ( x) является
функция f ( x) . Поэтому получим u( x)  v( x)  C   u( x)  v( x) dx   u( x)  v( x) dx .
Следовательно, справедлива формула:
 u( x)  v( x) dx  u( x)  v( x)   u( x)  v( x) dx C . Это и есть формула интегрирования
по частям.

      Примеры.

      1) Найти  e x x dx . Обозначим x  u( x), v( x)  e x . Тогда v( x)  e x , u( x)  1.
Применяя формулу интегрирования по частям, получим

                                      e x dx  x  e   e       dx  e x (x 1)  C .
                                        x           x         x




      2) Найти  (ln x)2 dx В этом примере мы применим метод интегрирования
по частям дважды:
                                               1 
                     u  (ln x)2 , u  2ln x  ,                              x
 (ln x)       dx                             x   x  (ln x)2  2      ln x xdx  x  (ln x)       
           2                                                                                        2

                           v  1, v  x        
                              1
                u  ln x, u                                           x
2   ln xdx                 x   x  (ln x)2  2( x ln x            xdx) 
                v  1, v  x 
 x  (ln x)2  2 x ln x  2 x  C.

      Проверим решение с помощью компьютера: введем

      integrate((log(x))^2, x) и нажмем Shift+Enter.
                                                        88

Страницы