Математика. Абубакиров Н.Р - 87 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

87
Примеры. 1) Вычислить
41x dx
. Сделаем замену
41tx
. Тогда
4dt dx
и
1
4
dx dt
. Следовательно,
33
22
1 1 2 1
4 1 (4 1)
4 4 3 6
x dx tdt t C x C

.
Проверим решение с помощью компьютера: введем
integrate(sqrt(4*x-1),x) или integrate((4*x-1)^ (1/2),x) и нажмем
Shift+Enter.
2) Вычислить
2
22
dx
xx
. В знаменателе выделим полный квадрат:
22
2 2 1 ( 1)x x x  
и сделаем замену
1xt
. При такой замене
.
Теперь
22
arctg arctg( 1)
2 2 1
dx dt
t C x C
x x t

.
Проверим решение с помощью компьютера: введем
integrate(1/(x^2+2*x+2),x) и нажмем Shift+Enter.
Проверим справедливость следующего утверждения: если первообразной
для функции
()fx
является функция
()Fx
, то первообразной для функции
( ) ( ( ))x f x

является функция
( ( ))Fx
.
Действительно,
( ( ( ))) ( ( )) ( ) ( ( ) ( ).F x F x x f x x
Покажем, как получить такой же результат с помощью замены
переменной. Обозначим
( ).xt
Тогда
( ) . x dxdt
Теперь
( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ( )) .f x x dx f t dt F t C F x C

Примеры.
1) Найти
sin
cos
x
e xdx
. Здесь
sin , cost x xdx dt
. Следовательно, в
соответствии с тем, что
tt
e dt e C
, имеем
sin sin
cos
xx
e xdx e C
.
Проверим решение с помощью компьютера: введем
integrate(%e^(sin(x))*cos(x),x) и нажмем Shift+Enter. 
     Примеры. 1) Вычислить              4 x 1dx . Сделаем замену t  4x 1. Тогда
                  1
dt  4dx и dx  dt . Следовательно,
                  4
              1          1 2 32       1           3
  4 x 1dx 
              4   tdt   
                         4 3
                             t   C 
                                      6
                                        (4 x  1) 2 C .



     Проверим решение с помощью компьютера: введем

     integrate(sqrt(4*x-1),x) или integrate((4*x-1)^ (1/2),x) и нажмем
Shift+Enter.

                             dx
     2) Вычислить       2  2x  x2 . В знаменателе выделим полный квадрат:
2  2x  x2  1 ( x 1)2 и сделаем замену x 1  t . При такой замене dx  dt .
Теперь 
               dx          dt
                     2 
                                 arctgt  C  arctg( x 1)  C .
          2  2x  x      1 t 2
     Проверим решение с помощью компьютера: введем

     integrate(1/(x^2+2*x+2),x) и нажмем Shift+Enter.

    Проверим справедливость следующего утверждения: если первообразной
для функции f ( x) является функция F ( x) , то первообразной для функции
( x)  f ( ( x)) является функция F ( ( x)) .

     Действительно, (F ( ( x)))  F ( ( x)) ( x)  f (( x) ( x).

     Покажем, как получить такой же результат с помощью замены

     переменной. Обозначим t   ( x). Тогда dt   ( x)  dx. Теперь

 f ( ( x)) ( x)dx   f (t)dt  F (t)  C  F (( x))  C.
     Примеры.

     1) Найти  esin x cos x dx . Здесь t  sin x, cos xdx  dt . Следовательно, в
соответствии с тем, что  et dt  et  C , имеем  esin x cos x dx  esin x  C .

     Проверим решение с помощью компьютера: введем

     integrate(%e^(sin(x))*cos(x),x) и нажмем Shift+Enter.



                                               87

Страницы