Математика. Абубакиров Н.Р - 89 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

89
§3.7. Интегрирование различных классов функций
Интегрирование рациональных дробей
Рациональные дроби – это дроби, представляющие собой отношение двух
многочленов
()
()
n
m
Px
Qx
. У такой дроби сначала выделяют целую часть (если
степень числителя
n
больше или равна степени знаменателя
m
), а затем
представляют в виде суммы простых дробей, то есть выражений вида
2
, ,
( ) ( )
()
k
A B Cx D
x a x a
x px q


, где
2
40pq
, и
2
()
l
Ex F
x px q

.
Вследствие трудоемкости этой операции мы будем интегрировать
рациональные дроби, в основном, при помощи компьютера, но для того, чтобы
продемонстрировать приемы, рассмотрим несколько примеров.
Примеры. 1) Прежде всего проинтегрируем простейшие дроби.
1)
ln| |
()
dx
x a C
xa
(сделана замена
t x a
).
2)
. Та же замена.
3)
2
22
2
2
2
1
1 1 1
arctg
1
1
1
arctg .
x
d
a
dx dx x dt
t t C
x a a a a a
t
x
x
a
a
a
x
C
aa

















4)
22
2 2 2
1 1 1
, 2 ln| | ln(1 )
2 2 2
xdx dt
t x a dt xdx t C x C
x a t



.
2) Вычислить
2
( 4 3)
dx
xx
. Разложим сначала знаменатель дроби на
сомножители:
2
( 4 3) ( 3)( 1)x x x x
. Представим числитель дроби в виде 
                     §3.7. Интегрирование различных классов функций

Интегрирование рациональных дробей

    Рациональные дроби – это дроби, представляющие собой отношение двух
             Pn ( x)
многочленов          . У такой дроби сначала выделяют целую часть (если
             Qm ( x)
степень числителя n больше или равна степени знаменателя m ), а затем
представляют в виде суммы простых дробей, то есть выражений вида
    A        B        Cx  D                             Ex  F
        ,          ,            , где p2  4q  0 , и 2             .
( x  a) ( x  a) ( x  px  q)
                 k   2
                                                     ( x  px  q)l

      Вследствие трудоемкости этой операции мы будем интегрировать
рациональные дроби, в основном, при помощи компьютера, но для того, чтобы
продемонстрировать приемы, рассмотрим несколько примеров.

    Примеры. 1) Прежде всего проинтегрируем простейшие дроби.

              dx
    1)              ln | x  a | C (сделана замена t  x  a ).
           ( x  a)

               dx     ( x  a)1k
    2)    ( x  a)k 1 k  C . Та же замена.
                    

                                                 
                                        d x
           dx               dx     1       a       x  1 dt            1
        x2  a2   2  x 2   a   x 2  t  a   a  1 t 2  a arctgt  C 
    3)              a    1          1
                         a       a
          1     x
          arctg  C.
          a     a
              xdx                                 1 dt 1            1
    4)   x   2
               a 2
                     t  x2  a2 , dt  2xdx     ln | t | C  ln(1 x2 )  C .
                                                   2 t 2             2


                               dx
    2) Вычислить        ( x2  4x  3) . Разложим сначала знаменатель дроби на
сомножители: ( x2  4x  3)  ( x  3)( x 1) . Представим числитель дроби в виде




                                                 89

Страницы