Математика. Абубакиров Н.Р - 91 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

91
22
1 cos2 1 cos2
sin , cos
22
xx
xx


. В случае интегралов вида
21
sin
n
xdx
или
21
cos
n
xdx
одну степень следует использовать как производную для
соответствующей замены переменной:
2 1 2 2
sin sin (cos )' (1 cos ) (cos )
n n n
xdx x x dx x d x
,
а дальше раскрывать скобки и интегрировать степени
costx
.
Примеры. 1) Вычислить интеграл
5 2 2 2 4 3 5
35
)
21
cos (1 sin ) (sin sin (1 2 )
35
21
sin sin sin .
35
xdx x d x t x t t dt t t t C
x x x C



2) Вычислить интеграл
4 2 2
1 1 1
sin (1 cos2 ) (1 2cos2 cos 2 ) sin2
4 4 4 4
1 1 1 1 3 1
(1 cos4 ) sin2 sin4 sin2 sin4 .
8 4 4 8 32 4 8 32
x
xdx x dx x x dx x
x x x
x dx x x C x x C

Для выражений, представляющих рациональную дробь, в которой вместо
переменной стоят
sin x
или
, существует универсальная
тригонометрическая подстановка
tg
2
x
t
, превращающая это
тригонометрическое выражение в новую рациональную дробь от переменной
t
.
При данной подстановке
2
2
2
2tg
2
2
sin 2sin cos 2tg cos
2 2 2 2
1
1 tg
2
x
x x x x t
x
x
t
,
2
2 2 2 2
2
1
cos cos sin cos (1 tg )
2 2 2 2
1
x x x x t
x
t
. Имеем
2arctgxt
, поэтому
2
2
1
dt
dx
t
.
Пример.
2 2 2 2
2
2
.
21
2 arctg
5 3cos 2 2
1 (5 5 3 3 ) 4
(1 )(5 3 )
1
tg
1
2
arctg
22
dx dt dt dt t
C
x
t t t t
t
t
x
C


       1 cos2 x            1 cos2 x
sin 2 x         , cos2 x            . В случае интегралов вида  sin 2n1 xdx
            2                   2
или  cos2n1 xdx одну степень следует использовать как производную для
соответствующей замены переменной:
 sin          xdx   sin 2n x(cos x)' dx   (1 cos2 x)n d (cos x) ,
        2n1



        а дальше раскрывать скобки и интегрировать степени t  cos x .

        Примеры. 1) Вычислить интеграл
       xdx   (1 sin 2 x)2 d (sin x)  t  sin x    (1  2t 2  t 4 )dt  t  t 3  t 5  C 
                                                                                     2     1
 cos
        5
                                                                                     3     5
         2          1
 sin x  sin3 x  sin5 x  C.
         3           5
2) Вычислить интеграл
           1                    1                              x 1
 sin         (1 cos2 x)2 dx   (1  2cos2 x  cos2 2 x)dx   sin 2 x 
        4
            xdx 
           4                    4                              4 4
 1                   x 1          x 1                    1       3x 1
  (1 cos4 x)dx   sin 2 x   sin 4 x  C   sin 2 x   sin 4 x  C.
 8                   4 4          8 32                   4       8 32
    Для выражений, представляющих рациональную дробь, в которой вместо
переменной стоят sin x или cos x , существует универсальная
тригонометрическая подстановка t  tg , превращающая это
                                                           x
                                                           2
тригонометрическое выражение в новую рациональную дробь от переменной t .

                                      x    x      x     x    2tg x
При данной подстановке sin x  2sin cos  2tg cos2              2  2t ,
                                      2    2      2    2 1 tg2 x 1 t 2
                                                                   2
            x       x       x         x 1 t 2
cos x  cos2  sin 2  cos 2 (1  tg 2 )      . Имеем x  2arctgt , поэтому
            2       2       2         2 1 t 2
      2dt .
dx 
     1 t 2
        Пример.
        dx                      2dt                              dt             dt    1     t
 5  3cos x                                     2                              arctg  C 
                      (1  t 2 )(5  31  t 2 )          (5  5t  3  3t )    4t
                                            2                  2         2         2  2     2
                                      1 t
 1     tg x
 arctg 2  C.
 2      2


                                                          91

Страницы