Математика. Абубакиров Н.Р - 93 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

93
переменной и интегрирования по частям. Мы перенесем эти методы в процесс
вычисления определенного интеграла.
Метод замены переменной в определенном интеграле
Если сделать замену
()tx
в определенном интеграле
()
b
a
f x dx
, то
необходимо изменить пределы интегрирования в новом интеграле, где
переменной интегрирования становится новая переменная
t
. Нужно в качестве
нового нижнего предела интегрирования взять значение
()a

, а в качестве
верхнего предела интегрирования взять значение
()b

.
Пример. Вычислить
/3
52
/4
(cos 3sin cos )x x x dx
. Вынесем
cosx
за скобку
и выразим оставшуюся в скобках функцию
4
cos x
через
sin x
:
224
cos (1 sin )xx
. Теперь получим:
.
Нетрудно видеть, что удобно сделать замену:
sintx
. При этом
cosxdx dt
и
выражение под интегралом становится зависимым только от
t
. Теперь
необходимо изменить пределы интегрирования. Нижним пределом становится
sin( /4) 1/ 2
, а верхним пределом
sin( /3) 3/2
. Поэтому
3 /2
1/ 2
/3 3/2 3/2
5 2 2 2 2 2 4
/4
1/ 2 1/ 2
35
(cos 3sin cos ) ((1 ) 3 ) (1 )
3 109 73
( ) .
3 5 160
2 60
x x x dx t t dt t t dt
tt
t
Проверьте правильность вычисления с помощью компьютера.
Метод интегрирования по частям в определенном интеграле
Этот метод также можно применять в неопределенном интеграле, только
при этом необходимо расставлять пределы интегрирования:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
bb
b
a
aa
u x v x dx u x v x v x u x dx


. Здесь так же, как в формуле
Ньютона-Лейбница,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
b
a
u x v x u b v b u a v a
. 
переменной и интегрирования по частям. Мы перенесем эти методы в процесс
вычисления определенного интеграла.

Метод замены переменной в определенном интеграле
                                                                                                           b
           Если сделать замену t   ( x) в определенном интеграле                                         a f ( x)dx , то
необходимо изменить пределы интегрирования в новом интеграле, где
переменной интегрирования становится новая переменная t . Нужно в качестве
нового нижнего предела интегрирования взять значение    (a) , а в качестве
верхнего предела интегрирования взять значение    (b) .

                                              /3
           Пример. Вычислить                                    x  3sin 2 x cos x)dx . Вынесем cos x за скобку
                                                             5
                                                  (cos
                                              /4
и выразим оставшуюся в скобках функцию cos4 x через sin x :
                                                                      /3
cos x  (1 sin x) . Теперь получим:                                     ((1 sin       x)2  3sin 2 x)cos xdx .
       4                 2        2                                                  2

                                                                      /4
Нетрудно видеть, что удобно сделать замену: t  sin x . При этом cos xdx  dt и
выражение под интегралом становится зависимым только от t . Теперь
необходимо изменить пределы интегрирования. Нижним пределом становится
sin( / 4)  1/ 2 , а верхним пределом sin( /3)  3 / 2 . Поэтому
 /3                                                 3/2                                  3/2

                  x  3sin x cos x)dx                     ((1 t )  3t )dt                (1  t 2  t 4 )dt 
               5              2                                     2 2     2
     (cos
 /4                                                1/ 2                                 1/ 2

                                      3 109
                        3/2
      t3 t5                                    73
 (t   )                                          .
      3 5 1/             2
                                      160      2  60

           Проверьте правильность вычисления с помощью компьютера.

Метод интегрирования по частям в определенном интеграле

    Этот метод также можно применять в неопределенном интеграле, только
при этом необходимо расставлять пределы интегрирования:
           b                                                  b
                                                     b
           a u( x)  v( x)dx  u( x)  v( x) a  a v( x) u( x)dx . Здесь так же, как в формуле
                                                         b
Ньютона-Лейбница, u( x)  v( x)  u(b)  v(b)  u(a)  v(a) .
                                                         a




                                                                      93

Страницы