Математика. Абубакиров Н.Р - 95 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

95
2. Вычисление площади области, расположенной между двумя
кривыми, заданными в декартовых координатах. Пусть необходимо
вычислить площадь области, расположенной между двумя кривыми
1
()y f x
и
2
()y f x
над отрезком
[ , ]ab
, причем
12
( ) ( ), f a f a
12
( ) ( )f b f b
.
Тогда
21
[ ( ) ( )]
b
a
S f x f x dx
.
Пример. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми
2
yx
и
2
2yx
.
Прежде всего найдем точки пересечения кривых:
2
2
2,
.
yx
yx

Конечно, такую систему легко решить вручную. Но решим систему с
помощью компьютера: solve([y=2-x^2,y=x^2],[x,y]) и Shift+Enter. Получим
решения системы:
. Таким образом, кривые
пересекаются при значениях
1 и 1xx
.
Нарисуем кривые на компьютере: load(draw); draw2d(explicit(x^2,x,-
1,1),explicit(2-x^2,x,-1,1)) и Shift+Enter.
Вычислим теперь площадь по формуле. Кривая
2
2yx
над отрезком
[ 1,1]
находится выше кривой
2
yx
. Следовательно,
22
1
1
3
1
1
28
[2 ] (2 )
33
S x x dx x x
. 
    2. Вычисление площади области, расположенной между двумя
кривыми, заданными в декартовых координатах. Пусть необходимо
вычислить площадь области, расположенной между двумя кривыми y  f1( x) и
y  f 2 ( x) над отрезком [a, b] , причем f1(a)  f 2 (a),   f1(b)  f 2 (b) .




                            b
     Тогда             S   [ f 2 ( x)  f1( x)]dx .
                            a

     Пример. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми y  x2 и
y  2  x2 .

                                                   
                                                   y  2 x ,
                                                            2
     Прежде всего найдем точки пересечения кривых: 
                                                    yx .
                                                          2
                                                   

    Конечно, такую систему легко решить вручную. Но решим систему с
помощью компьютера: solve([y=2-x^2,y=x^2],[x,y]) и Shift+Enter. Получим
решения системы: ( x  1, y  1),( x  1, y  1) . Таким образом, кривые
пересекаются при значениях x  1 и x  1 .

     Нарисуем кривые на компьютере: load(draw); draw2d(explicit(x^2,x,-
1,1),explicit(2-x^2,x,-1,1)) и Shift+Enter.

     Вычислим теперь площадь по формуле. Кривая y  2  x2 над отрезком
[1,1] находится выше кривой y  x2 . Следовательно,
    1                                       1
                             2       8
S   [2  x  x ]dx  (2 x  x3 )  .
               2   2

    1
                             3    1
                                     3

                                                        95

Страницы