Математика. Абубакиров Н.Р - 92 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

92
Отметим, что возможность получить первообразную, выражающуюся
через элементарные функции, есть не для всякой исходной непрерывной
функции. Так, функция
sin x
x
, непрерывная при
0x
и непрерывно
продолженная в точку
0x
значением 1, не имеет
первообразной, представимой через элементарные функции.
§3.8. Определенный интеграл, методы интегрирования. Приложения
определенного интеграла
Определенным интегралом от функции
()fx
по отрезку
[ , ]ab
называется
выражение вида
()
b
a
f x dx
. Здесь над и под знаком интеграла появляются концы
отрезка, по которому интегрируют, называемые пределами интегрирования.
Для того, чтобы вычислить такой определенный интеграл, следует
использовать любую первообразную
()Fx
функции
()fx
в формуле Ньютона-
Лейбница:
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F b F a F x 
.
Таким образом, для вычисления определенного интеграла используется
неопределенный интеграл (первообразная).
Пример. Вычислить
.
Сосчитаем этот определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница.
Здесь в роли
()fx
выступает функция
5
x
. Мы знаем, что первообразной для
этой функции является функция
6
6
x
. Поэтому
1
5
0
1 0 1
6 6 6
x dx 
.
Для проверки результата на компьютере наберем integrate(x^5,x,0,1) и
нажмем Shift+Enter. Вы видите, что при вычислении определенного интеграла в
программе Maxima после переменной (x) необходимо поставить пределы
интегрирования в порядке возрастания.
Вычисление первообразной, как мы уже убедились, часто бывает довольно
долгим процессом, где могут использоваться (и не один раз) методы замены 
    Отметим, что возможность получить первообразную, выражающуюся
через элементарные функции, есть не для всякой исходной непрерывной
                      sin x
функции. Так, функция       , непрерывная при x  0 и непрерывно
                        x
продолженная в точку x  0 значением 1, не имеет

первообразной, представимой через элементарные функции.

       §3.8. Определенный интеграл, методы интегрирования. Приложения
                         определенного интеграла

    Определенным интегралом от функции f ( x) по отрезку [a, b] называется
                 b
выражение вида   a f ( x)dx . Здесь над и под знаком интеграла появляются концы
отрезка, по которому интегрируют, называемые пределами интегрирования.
Для того, чтобы вычислить такой определенный интеграл, следует
использовать любую первообразную F ( x) функции f ( x) в формуле Ньютона-
Лейбница:
                          b
                                                            b
                         a f ( x)dx  F (b)  F (a)  F (x) a   .


    Таким образом, для вычисления определенного интеграла используется
неопределенный интеграл (первообразная).
                          1
    Пример. Вычислить  x5dx .
                          0

    Сосчитаем этот определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница.
Здесь в роли f ( x) выступает функция x5 . Мы знаем, что первообразной для
                                6                 1
этой функции является функция
                              x                     1 0 1
                                  . Поэтому  x5dx    .
                              6             0
                                                    6 6 6

    Для проверки результата на компьютере наберем integrate(x^5,x,0,1) и
нажмем Shift+Enter. Вы видите, что при вычислении определенного интеграла в
программе Maxima после переменной (x) необходимо поставить пределы
интегрирования в порядке возрастания.

    Вычисление первообразной, как мы уже убедились, часто бывает довольно
долгим процессом, где могут использоваться (и не один раз) методы замены

                                         92

Страницы