Математика. Абубакиров Н.Р - 90 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

90
31
1
2
или
(3 ) (1 )
1
2
xx
. Теперь дробь представима в виде
2
( 3) ( 1)
1 1 1
2( 3)( 1) 2( 1) 2( 3)
43
xx
x x x x
xx

, следовательно,
2
.
1 1 1 1 1 1
ln| 1| ln| 3| ln
2 ( 1) 2 ( 3) 2 2 2 3
( 4 3)
dx dx dx x
x x C C
x x x
xx

Проверим решение с помощью компьютера: введем
integrate(1/(x^2+4*x+3), x) и нажмем Shift+Enter.
3) Вычислить
2
( 1)( 1)
dx
xx
. Разложение рациональной дроби на
простейшие дроби представляет собой сложную операцию. Доверим ее
компьютеру. Разложение на простейшие дроби проводится с помощью
команды partfrac. Для данной функции введем partfrac(1/((x+1)*(x^2+1)),x) и
нажмем Shift+Enter. Мы получим представление
22
( 1)
11
2( 1)
( 1)( 1) 2( 1)
x
x
x x x
. Запишем интеграл в виде
2 2 2
.
1 1 1
2 1 2 2
( 1)( 1) 1 1
dx dx xdx dx
x
x x x x

Первый интеграл заменой
( 1)tx
приводит к
, второй
интеграл заменой
2
1tx
приводит к функции
2
1
ln( 1)
4
x
, третий интеграл
дает
1
arctg
2
x
. В итоге получим
2
1 1 1
ln| 1| ln( 1) arctg
2 4 2
x x x C
.
Проверьте правильность вычислений с помощью компьютера.
Интегрирование тригонометрических функций
Мы уже встречали случаи тригонометрических функций в наших
примерах. Невозможно предусмотреть все возможные случаи интегрирования,
но можно дать некоторую классификацию.
а) В случае интегралов вида
2
sin
n
xdx
или
2
cos
n
xdx
степень
подынтегральной функции понижается с помощью формул 
   3 1          (3  x)  (1 x)
1      или 1                    . Теперь дробь представима в виде
     2                    2
     1       ( x  3)  ( x 1)      1       1
                                               , следовательно,
x  4 x  3 2( x  3)( x 1) 2( x 1) 2( x  3)
 2


               dx        1 dx        1 dx         1               1                  1 x 1
        ( x2  4x  3) 2  ( x 1) 2  ( x  3) 2
                                                 ln | x  1| 
                                                                  2
                                                                    ln | x  3| C   ln
                                                                                     2 x 3
                                                                                             C.


       Проверим решение с помощью компьютера: введем

       integrate(1/(x^2+4*x+3), x) и нажмем Shift+Enter.

                               dx
       3) Вычислить     ( x 1)( x2 1) . Разложение рациональной дроби на
простейшие дроби представляет собой сложную операцию. Доверим ее
компьютеру. Разложение на простейшие дроби проводится с помощью
команды partfrac. Для данной функции введем partfrac(1/((x+1)*(x^2+1)),x) и
нажмем Shift+Enter. Мы получим представление
       1           1     ( x 1)
                                . Запишем интеграл в виде
( x 1)( x 1) 2( x 1) 2( x2 1)
          2


              dx          1   dx     1   xdx        1   dx
        ( x 1)( x2 1)  2  x 1  2  x2 1  2  x2 1.

                                                                   1
       Первый интеграл заменой t  ( x 1) приводит к                ln | x 1| , второй
                                                                   2
                                                               1
интеграл заменой t  x2 1 приводит к функции  ln( x2 1) , третий интеграл
                                                               4
       1                         1            1            1
дает     arctgx . В итоге получим ln | x 1|  ln( x2 1)  arctgx  C .
       2                         2            4            2
       Проверьте правильность вычислений с помощью компьютера.

Интегрирование тригонометрических функций

      Мы уже встречали случаи тригонометрических функций в наших
примерах. Невозможно предусмотреть все возможные случаи интегрирования,
но можно дать некоторую классификацию.

       а) В случае интегралов вида  sin 2n xdx или           cos
                                                                     2n
                                                                          xdx степень
подынтегральной функции понижается с помощью формул
                                               90

Страницы