Методическое пособие по курсу общей физики. Молекулярная физика. Термодинамика. Акулинина А.В - 13 стр.

56                                                                                                                                                        13
поверхности это дополнительное давление положительно, в случае вогну-    Если учесть, что m0 / k = m 0 N A /( kN A ) = μ / R , тогда
той поверхности - отрицательно.                                                                                         μgh
                                                                                                                    −
     Вычислим добавочное давление Δр для сфериче-                                                     p = p0 e  .       æT

ской поверхности жидкости. Рассечем мысленно сфери-           R              Зависимость давления атмосферы от высоты над уровнем моря при
ческую каплю жидкости диаметральной плоскостью на                        постоянной температуре называют барометрической формулой.
два полушария. Из-за поверхностного натяжения оба                                                                                          m gh
                                                                                                                                          − 0
полушария притягиваются с силой, равной                                       Пользуясь барометрической формулой p = p 0 e                  kT
                                                                                                                              , можно получить
                   F = lσ = 2πRσ .                                       закон изменения концентрации с высотой. Приняв во внимание n = p / k T
     Эта сила прижимает друг к другу оба полушария
                                                                         и n 0 = p 0 / k T , где n и n0 – концентрация молекул на высоте h и h0=0 и
по поверхности S = πR 2 и, следовательно, обусловливает дополнитель-     подставляя р и р0 в барометрическую формулу, получим закон распределе-
                   F 2πRσ 2σ                                                                                                              m0 gh
ное давление: Δp =    =         =     . Кривизна сферической поверх-                                                                  −
                    S    πR 2      R                                     ния концентраций по высоте:             n = n0e kT ,
ности всюду одинакова и определяется радиусом сферы R. Чем меньше R,          Полученное распределение Больцмана справедливо для поля тяготе-
тем больше кривизна поверхности. Для сферической поверхности кривизна    ния, для которого U = m0 gh – потенциальная энергия на высоте h (на
Н=1/R.
                                                                         разной высоте молекула обладает различным запасом потенциальной энер-
     Если форма поверхности несферическая, то Δр выражается через        гии). Однако оно справедливо и для идеального газа, находящегося в лю-
среднюю кривизну нормального сечения. Нормальным сечением поверхно-                                                               U
                                                                                                                              −
сти называется линия пересечения поверхности плоскостью, проходящей      бом другом потенциальном поле:        n = n0e kT
через нормаль в данной точке. В геометрии доказывается, что полусумма
                                                                         распределение Больцмана в поле с потенциальной энергией U .
                                  1 1  1                                      При Т→ ∞, n→n0, то есть происходит выравнивание концентрации га-
обратных радиусов кривизны: H =    ( +    ) для любой пары взаимно
                                  2 R1 R2                                за по всему объему, занимаемому газом. При Т→ 0, n→ 0, то есть все мо-
перпендикулярных нормальных сечений имеет одно и то же значение. Эта     лекулы опустятся на поверхность Земли (если речь идет об атмосфере).
величина и есть средняя кривизна поверхности в данной точке.
     Радиусы R1 и R2 в формуле – алгебраические величины. Если центр                     8. Распределение энергии по степеням свободы.
кривизны нормального сечения находится под данной поверхностью, соот-
ветствующий радиус кривизны положителен; если центр кривизны лежит            Средняя энергия (из вывода основного уравнения кинетической тео-
над поверхностью, радиус кривизны отрицателен. Неплоская поверхность                                                                  3
                                                                         рии газов), приходящаяся на одну молекулу ⎯E =                 kT . Если считать мо-
может иметь среднюю кривизну, равную нулю. Для этого нужно, чтобы                                                                     2
радиусы кривизны R1 и R2 были одинаковы по величине и противополож-      лекулу шариком (как в одноатомном газе), то средняя энергия такой части-
ны по знаку.                                                             цы определяется средней кинетической энергией ее поступательного дви-
     Для      сферы      Н=1/R,          поэтому                         жения. Энергию эту можно представить как сумму трех слагаемых – кине-
Δр= 2Нσ .                                                    R2<0        тических энергий движения молекулы по трем взаимно перпендикулярным
     Лаплас доказал, что эта формула справедлива                                                             2
                                                                                          m0 v 2 m0 v 2x m0 v y m0 v 2z
для поверхности любой формы, если под Н пони-                            направлениям:          =       +      +        ,
мать среднюю кривизну поверхности в той точке,                                             2      2       2      2
под которой определяется дополнительное давле-                           где vx, vy, vz – составляющие скорости молекул по трем осям координат.
ние. Подставив сюда выражение для средней кри-                           Из-за хаотичности молекулярного движения можно считать, что средние
                                                                  R1>0
визны, получим формулу для добавочного давления                          значения кинетических энергий по трем направлениям равны друг другу: