ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
38
Цикл Карно – прямой круговой процесс, при котором выполненная
системой работа максимальна. Цикл состоит из двух изотермических (1→2
и 3→4) и двух адиабатических расширений и сжатий (2→
3 и 4→1) (см.
рис.19.1). Машина, совершающая цикл Карно, называется идеальной теп-
ловой машиной.
Работа, совершаемая при изотермическом расширении:
A
m
RT
V
V
11
2
1
=
μ
ln ; А
1
=Q
1
. (1)
При адиабатическом расширении работа
совершается за счет убыли внутренней энергии
системы, т.к. Q’=0:
AU
m
CT T
V
'()=− = −Δ
μ
12
.
Работа, совершаемая над системой при изотермическом сжатии:
A
m
RT
V
V
12
3
4
=
μ
ln
; А
2
=Q
2
. (2)
Работа при адиабатическом сжатии: А’’=–
ΔU =
m
μ
С
V
(Т
2
–Т
1
).
Подсчитаем КПД идеальной тепловой машины.
η
μμ
μ
=
−
=
−
QQ
Q
m
RT
V
V
m
RT
V
V
m
RT
V
V
2
1
1
2
1
2
3
4
1
2
1
ln ln
ln
(3)
Запишем уравнения Пуассона для двух адиабатических процессов:
TV TV TV TV
11
1
24
1
12
1
23
1
γγ γγ
−− −−
==;
Взяв их отношение, получим:
V
V
V
V
2
1
3
4
=
.
Выразив в формуле (3)
V
V
3
4
через
V
V
2
1
и сократив на
1
2
ln
V
V
, получим:
η
=
−
=−
TT
T
T
T
12
1
2
1
1 .
Отсюда сформулируем
первую теорему Карно: коэффициент полез-
ного действия обратимого цикла Карно не зависит от природы рабочего
тела и является функцией только абсолютных температур нагревателя и
холодильника.
p (p
1
V
1
)
1 Q
1
2
(p
2
V
2
)
(p
4
V
4
) 4
Q
2
3 (p
3
V
3
)
V
Рис. 19.1.
31
боды надо число колебательных степеней свободы удвоить. Для двухатом-
ного газа
RRiiiR
i
C
‰•V
2
7
)2(
2
ð
=++==
,
причем С
V
не зависит от температуры. Что же наблюдалось на опыте?
Опыт показал (рис.14.1), что в оп-
ределенном интервале температур эта
теплоемкость составляет всего (5/2)R,
при очень низких температурах она
уменьшалась до (3/2)R, а при высоких
становится больше 3R. Это означает,
что при низких температурах молекулы
участвуют только в поступательном
движении. По мере повышения Т
молекулы начинают совершать и враща-
тельные движения. И лишь при высоких температурах она совершает все
три вида движения (добавляется колебательное).
Классическая теория такое поведение объяснить не может, так как
классическая теория о равнораспределении энергии по степеням свободы
при низких температурах практически не применима. Оно верно только
для высоких температур. Объяснение было
получено в рамках квантовой
теории.
15. Первое начало термодинамики в изопроцессах.
Для равновесных изопроцессов в газах уравнение первого начала тер-
модинамики (
dQ = dU + dА) имеет вид:
m
CdT dU pdV
μ
=+
.
• Первое начало термодинамики при изохорическом процессе
(V=const):
dQ dU
m
CdT Q U
m
CT
VV
== ==
μμ
, ΔΔ
Здесь ΔТ=Т
2
–Т
1
– разность температур конечного и начального со-
стояний.
При этом работа не совершается:
dA pdV
=
=
0
• Первое начало термодинамики при изобариче-
ском процессе (p=const):
dQ
m
C dT pdV Q U A
m
CdT
Vp
=+ =+=
μμ
, Δ
.
График изобарического процесса представлена
на рис.15.1. Работа изобарного расширения равна площади фигуры, за-
штрихованной на рис. и имеет значение
C
V
(7/2)R
(5/2)R
(3/2)R
T
Рис.14.1.
Рис.15.1
p
1 2
V
1
V
2
V
38 31
Цикл Карно – прямой круговой процесс, при котором выполненная боды надо число колебательных степеней свободы удвоить. Для двухатом-
системой работа максимальна. Цикл состоит из двух изотермических (1→2 i 7
и 3→4) и двух адиабатических расширений и сжатий (2→3 и 4→1) (см.
ного газа CV = R = (i• + i‰ ð + 2i ) R = R ,
2 2
рис.19.1). Машина, совершающая цикл Карно, называется идеальной теп- причем СV не зависит от температуры. Что же наблюдалось на опыте?
ловой машиной. Опыт показал (рис.14.1), что в оп- CV
Работа, совершаемая при изотермическом расширении: ределенном интервале температур эта
m V2 p (p1V1) теплоемкость составляет всего (5/2)R, (7/2)R
A1 = RT1 ln ; А1=Q1. (1) 1 Q1
μ V1 при очень низких температурах она (5/2)R
2 (p2V2) уменьшалась до (3/2)R, а при высоких (3/2)R
При адиабатическом расширении работа (p4V4) 4 становится больше 3R. Это означает,
совершается за счет убыли внутренней энергии Q2 3 (p3V3) T
что при низких температурах молекулы Рис.14.1.
системы, т.к. Q’=0: V участвуют только в поступательном
m Рис. 19.1.
движении. По мере повышения Т молекулы начинают совершать и враща-
A' = − ΔU = CV (T1 − T2 ) .
μ тельные движения. И лишь при высоких температурах она совершает все
Работа, совершаемая над системой при изотермическом сжатии: три вида движения (добавляется колебательное).
V3 Классическая теория такое поведение объяснить не может, так как
m
A1 = RT2 ln ; А2=Q2. (2) классическая теория о равнораспределении энергии по степеням свободы
μ V4 при низких температурах практически не применима. Оно верно только
для высоких температур. Объяснение было получено в рамках квантовой
Работа при адиабатическом сжатии: А’’=–ΔU = m СV(Т2–Т1).
μ теории.
Подсчитаем КПД идеальной тепловой машины.
15. Первое начало термодинамики в изопроцессах.
V m m V
RT1 ln 2 − RT2 ln 3
Q − Q2 μ V1 μ V4 Для равновесных изопроцессов в газах уравнение первого начала тер-
η= = (3) m
Q1 m V модинамики (dQ = dU + dА) имеет вид: CdT = dU + pdV .
RT1 ln 2 μ
μ V1
Запишем уравнения Пуассона для двух адиабатических процессов: • Первое начало термодинамики при изохорическом процессе
γ −1
= T2V4 ; T1V2
T1V1 γ −1 γ −1
= T2V3 γ −1
(V=const): dQ = dU = m CV dT , Q = ΔU = m CV ΔT
μ μ
V V
Взяв их отношение, получим: 2 = 3 . Здесь ΔТ=Т2–Т1 – разность температур конечного и начального со-
V1 V4
стояний.
V3 V V При этом работа не совершается: dA = pdV = 0 p Рис.15.1
Выразив в формуле (3) через 2 и сократив на ln 2 , получим: 1 2
V4 V1 V1 • Первое начало термодинамики при изобариче-
T1 − T2 T ском процессе (p=const):
η= =1− 2 . m m
T1 T1 dQ = CV dT + pdV , Q = ΔU + A = C p dT .
μ μ
Отсюда сформулируем первую теорему Карно: коэффициент полез- V1 V2 V
График изобарического процесса представлена
ного действия обратимого цикла Карно не зависит от природы рабочего
на рис.15.1. Работа изобарного расширения равна площади фигуры, за-
тела и является функцией только абсолютных температур нагревателя и
штрихованной на рис. и имеет значение
холодильника.
