ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
6
лом ударов о стенки сосуда, а соударения молекул со стенками сосуда аб-
солютно упругие. Выделим на стенке сосуда элементарную площадку
Δs
(cм. рис.) и вычислим давление, оказываемое на эту площадку. При каж-
дом соударении, молекула, движущаяся перпендикулярно площадке, пере-
дает ей импульс
т
0
v–(–m
0
v) = 2 т
0
v, где т
0
— масса молекулы, v – ее
скорость. За время Δt площадки Δs достигнут только те молекулы, которые
заключены в объеме цилиндра с основанием Δs и высотой vΔt. Число этих
молекул равно nΔs vΔt, где п — концентрация молекул. Но необходимо
учитывать, что реально молекулы движутся к площадке под разными уг-
лами и
имеют различные скорости.
Для упрощения расчетов хаотическое движение молекул заменяют
движением вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений, тик что в
любой момент времени вдоль каждого из них движется 1/3 молекул, при-
чем половина из них (1/6) движется вдоль данного направления в одну
сторону, половина — в противоположную. Тогда число ударов молекул,
движущихся в заданном направлении
, о площадку Δs будет
1
6
nstΔΔ
. При
столкновении с площадкой эти молекулы передадут ей импульс:
ΔΔΔΔΔPm nst mnst=⋅ =2
1
6
1
3
00
vv
2
ΔPm= 2
0
v .
Тогда давление газа на стенку сосуда:
p
FP
t
mn== =
Δ
Δ
ΔΔss
v
2
1
3
0
(1)
Если газ и объеме V содержит N молекул, движущихся со скоростя-
ми
v
1
, v
2
., то учитывают среднюю квадратичную скорость:
vv v
кв
2
i
2
==
=
∑
1
1
N
i
N
(2)
характеризующую всю совокупность молекул газа. Уравнение (1) с учетом
(2) примет вид
р=
1
3
0
2
nm v . (3)
Данное выражение называется основным уравнением молекулярно-
кинетической теории идеальных газов. Это уравнение как раз и устанавли-
вает связь между давлением и скоростью, вернее среднеквадратичной ско-
ростью.
Введем E
=
m
0
2
2
v
– среднюю кинетическую энергию хаотического
поступательного движения одной молекулы, тогда основное уравнение
запишется как:
р=
2
32
0
2
n
m v
или р=
2
3
n
E
63
Коэффициенты поверхностного натяжения и плотности некоторых
жидкостей при 20
о
С:
Вещество Поверхностное
натяжение, Н/м
Плотность,
кг/м
3
Вода 0,073 1000
Глицерин 0,064 1200
Керосин 0,03 800
Мыльный раствор 0,045 1000
Ртуть 0,5 13600
Спирт 0,02 790
Задача 4. Из конца стеклянной капиллярной трубки, опущенной в во-
ду, выдули пузырек воздуха радиусом 0,02 см. При этом давление воздуха
в пузырьке превышало атмосферное на 984 Па. На какую глубину опущена
трубка.
Дано: r=2.10
-4
м, р-р
о
=984 Па, ρ=10
3
кг/м
3
, σ=0,07 Н/м.
Найти: h-?
Решение. На глубине давление внутри пузырька складывается из
атмосферного (над водой), гидростатического (слоя воды над пузырьком) и
лапласовского: р=р
о
+ρgh+2σ/r, или р- р
о
=ρgh+2σ/r, откуда
h=(р– р
o
–2σ/r)/(ρg) = 0,028 м.
Задача 5. Определить изменение свободной энергии поверхности
мыльного пузыря при изотермическом увеличении его объема от 10 см
3
до
20 см
3
. Считать для мыльного раствора σ=0,04 Н/м.
Дано: V
1
=10
-5
м
3
,
V
2
=2.
10
-5
м
3
, σ=0,04 Н/м.
Найти: ΔЕ - ?
Решение. Свободная энергия поверхности жидкости пропорциональна
площади этой поверхности: Е=σS. У мыльного пузыря имеются две по-
верхности - внешняя и внутренняя, площади которых практически равны
из-за малой толщины мыльной пленки. Поэтому свободная энергия по-
верхности (внешней и внутренней вместе) мыльного пузыря Е=2σS.
Так как, по условию
задачи, процесс изотермический, то поверхност-
ное натяжение, являющееся для данной жидкости функцией только темпе-
ратуры, остается постоянным. Следовательно, изменение свободной энер-
гии: ΔЕ=2σΔS, где ΔS - изменение поверхности пузыря (одной - внутрен-
ней или внешней). Считая, что мыльный пузырь имеет форму сферы,
найдем ΔS: ΔS=4πr
2
2
- 4πr
1
2
, где r
1
и r
2
- радиусы сфер, соответствующие
V
1
и V
2
: r
1
=(3V
1
/4π)
1/3
, r
1
=(3V
1
/4π)
1/3
. Тогда ΔS=
4
3
4
3
4
2
2
3
1
2
3
π
ππ
VV
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
.
Учитывая, что V
2
=2V
1
, получим: ΔS=4π(3V
1
/4π)
2/3
(2
2/3
-1). Подставим
это выражение в формулу для ΔЕ: ΔЕ=8πσ(3V
1
/4π)
2/3
(2
2/3
-1).
После вычислений по этой формуле получим ΔЕ=1,06.10
-4
Дж.
6 63
лом ударов о стенки сосуда, а соударения молекул со стенками сосуда аб- Коэффициенты поверхностного натяжения и плотности некоторых
солютно упругие. Выделим на стенке сосуда элементарную площадку Δs жидкостей при 20оС:
(cм. рис.) и вычислим давление, оказываемое на эту площадку. При каж- Вещество Поверхностное Плотность,
дом соударении, молекула, движущаяся перпендикулярно площадке, пере- натяжение, Н/м кг/м3
дает ей импульс т0 v–(–m0 v) = 2 т0 v, где т0 — масса молекулы, v – ее Вода 0,073 1000
скорость. За время Δt площадки Δs достигнут только те молекулы, которые Глицерин 0,064 1200
заключены в объеме цилиндра с основанием Δs и высотой vΔt. Число этих Керосин 0,03 800
молекул равно nΔs vΔt, где п — концентрация молекул. Но необходимо Мыльный раствор 0,045 1000
учитывать, что реально молекулы движутся к площадке под разными уг- Ртуть 0,5 13600
лами и имеют различные скорости. Спирт 0,02 790
Для упрощения расчетов хаотическое движение молекул заменяют Задача 4. Из конца стеклянной капиллярной трубки, опущенной в во-
движением вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений, тик что в ду, выдули пузырек воздуха радиусом 0,02 см. При этом давление воздуха
любой момент времени вдоль каждого из них движется 1/3 молекул, при- в пузырьке превышало атмосферное на 984 Па. На какую глубину опущена
чем половина из них (1/6) движется вдоль данного направления в одну трубка.
сторону, половина — в противоположную. Тогда число ударов молекул, Дано: r=2.10-4м, р-ро=984 Па, ρ=103кг/м3, σ=0,07 Н/м.
1 Найти: h-?
движущихся в заданном направлении, о площадку Δs будет nΔsΔt . При Решение. На глубине давление внутри пузырька складывается из
6
атмосферного (над водой), гидростатического (слоя воды над пузырьком) и
столкновении с площадкой эти молекулы передадут ей импульс:
лапласовского: р=ро+ρgh+2σ/r, или р- ро=ρgh+2σ/r, откуда
1 1
ΔP = 2m0 v ⋅ nΔsΔt = m0 v 2 nΔsΔt ΔP = 2m0 v . h=(р– рo–2σ/r)/(ρg) = 0,028 м.
6 3 Задача 5. Определить изменение свободной энергии поверхности
F ΔP 1 мыльного пузыря при изотермическом увеличении его объема от 10 см3 до
Тогда давление газа на стенку сосуда: p = = = m0 v 2 n (1) 20 см3. Считать для мыльного раствора σ=0,04 Н/м.
Δs Δs Δt 3
Дано: V1 =10-5м3, V2=2. 10-5м3, σ=0,04 Н/м.
Если газ и объеме V содержит N молекул, движущихся со скоростя-
ми v1, v2., то учитывают среднюю квадратичную скорость: Найти: ΔЕ - ?
Решение. Свободная энергия поверхности жидкости пропорциональна
1 N
v кв = v 2 =
N
∑ v 2i (2) площади этой поверхности: Е=σS. У мыльного пузыря имеются две по-
верхности - внешняя и внутренняя, площади которых практически равны
i =1
характеризующую всю совокупность молекул газа. Уравнение (1) с учетом из-за малой толщины мыльной пленки. Поэтому свободная энергия по-
1 верхности (внешней и внутренней вместе) мыльного пузыря Е=2σS.
(2) примет вид р= nm0 v 2 . (3) Так как, по условию задачи, процесс изотермический, то поверхност-
3 ное натяжение, являющееся для данной жидкости функцией только темпе-
Данное выражение называется основным уравнением молекулярно- ратуры, остается постоянным. Следовательно, изменение свободной энер-
кинетической теории идеальных газов. Это уравнение как раз и устанавли-
гии: ΔЕ=2σΔS, где ΔS - изменение поверхности пузыря (одной - внутрен-
вает связь между давлением и скоростью, вернее среднеквадратичной ско-
ней или внешней). Считая, что мыльный пузырь имеет форму сферы,
ростью.
найдем ΔS: ΔS=4πr22 - 4πr12, где r1 и r2 - радиусы сфер, соответствующие
m0 v 2 ⎡ 2 2 ⎤
Введем E = – среднюю кинетическую энергию хаотического V1 и V2: r1=(3V1/4π)1/3, r1=(3V1/4π)1/3. Тогда ΔS= 4 π ⎢⎜
⎛ 3V2 ⎞
⎟
3 ⎛ 3V ⎞
−⎜ 1 ⎟
3
⎥.
2 ⎢⎝ 4 π ⎠ ⎝ 4π ⎠ ⎥
поступательного движения одной молекулы, тогда основное уравнение ⎣ ⎦
Учитывая, что V2=2V1, получим: ΔS=4π(3V1/4π)2/3(22/3-1). Подставим
2 m v2 2
запишется как: р= n 0 или р= n E это выражение в формулу для ΔЕ: ΔЕ=8πσ(3V1/4π)2/3(22/3-1).
3 2 3 После вычислений по этой формуле получим ΔЕ=1,06.10-4Дж.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- …
- следующая ›
- последняя »
