Кинематика и динамика твердого тела. Амелькин Н.И. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

18
321
iiiO
Совокупность указанных поворотов переводит базис
в базис
321
eeeO
и представляет собой
последовательность поворотов на эйлеровы углы
ψ
(угол
прецессии),
θ
(угол нутации) и
ϕ
(угол собственного
вращения).
3
i
e
3
=
Рис. 3
θ
i
3
i
′′
2
e
1
2
i
1
e
1
i
′
ψ
ϕ
Кватернионный способ.
Теорема 1
. Произвольное положение твердого те а с
неподвижной точкой относительно базиса
321
iiiO
задается некоторым нормированным кватернионом
Λ
по
формулам
л
Ο
. ;
~
3 ,2 ,1== kie
kk
ΛΛ
(2.5)
При этом каждому положению твердого тела соответствуют
два значения кватерниона
Λ
, отличающиеся знаком.
Доказательство.
Найдем кватернион
Λ
из соотношений
(2.5), рассматривая их как систему ур внени относительно
неизвестного
а й
Λ
. Так как базисы
321
iiiO
и O
321
eee
являются
правыми ортогональными тройками единичных векторов, то
имеют место равенства 
                                     i3
               e3 = i3′′ θ                e2



                                                    i2
                                          e1
                           ψ         ϕ
                  i1           i1′
                        Рис. 3
   Совокупность указанных поворотов переводит базис
Oi1i2 i3 в базис Oe1e2 e3 и представляет собой
последовательность поворотов на эйлеровы углы ψ (угол
прецессии), θ (угол нутации) и ϕ (угол собственного
вращения).
   Кватернионный способ.
   Теорема 1. Произвольное положение твердого тела с
неподвижной точкой Ο относительно базиса Oi1i2 i3
задается некоторым нормированным кватернионом        Λ   по
формулам
             ~
   ek = Λ ik Λ ; k = 1, 2, 3.                          (2.5)
При этом каждому положению твердого тела соответствуют
два значения кватерниона Λ , отличающиеся знаком.
   Доказательство. Найдем кватернион Λ из соотношений
(2.5), рассматривая их как систему уравнений относительно
неизвестного Λ . Так как базисы Oi1i2 i3 и Oe1e2 e3 являются
правыми ортогональными тройками единичных векторов, то
имеют место равенства


                             18

Страницы