Кинематика и динамика твердого тела. Амелькин Н.И. - 19 стр.

следует       (ξ , i2 ) = 0 , (ξ × i2 , i1 ) = 0 ,    т.   е.   ξ = ±i1 ,
x2 = ± i3 .
   Оставшийся нерассмотренным случай i1 = e1 , i2 ≠ e2
сводится к рассмотренному выше случаю заменой индексов.
   Из вида полученных решений следует, что решение Λ
системы (2.5) всегда является нормированным кватернионом,
который имеет 2 значения разных знаков. Теорема доказана.
   В дальнейшем условимся считать начальным положением
твердого тела такое его положение, когда орты связанного с
телом базиса ΟΕ (Oe1e2 e3 ) совпадают с одноименными
ортами системы отсчета ΟΙ (Oi1i2 i3 ) . Тогда в соответствии
с (2.5) конечное положение r ′ произвольной точки тела
определяется через его начальное положение r формулой
             ~
   r ′ = Λ r Λ.                                     (2.9)
   Теорема 2 (теорема Эйлера о конечном повороте). Любое
положение твердого тела с неподвижной точкой может быть
получено из начального положения одним поворотом вокруг
некоторой оси ε на некоторый угол ϑ . При этом ось ε
конечного    поворота   коллинеарна    векторной    части
кватерниона  Λ = λ0 + λ , а угол ϑ конечного поворота
определяется формулой ϑ = 2 arccos λ0 .
   Доказательство. Представим кватернион Λ , задающий
положение тела, в тригонометрической форме
   Λ = λ0 + λ = cos α + ε ⋅ sin α ; ε = 1                          (2.11)
и исследуем преобразование (2.9). Дополним вектор ε
единичными векторами µ и η до правой ортогональной
тройки    (ε µ = η )          таким образом, чтобы вектор              r
оказался в плоскости векторов            ε    и   µ    (рис. 4). Тогда,

                                    21