ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
62
),0(
Ψ
)(
Ψ
=
1
0
=
θ
,1
t а движение волчка представляет собой
регулярную прецессию вокруг вертикали.
2
≥
Η
Неравенство (3.25) позволяет определить условие
устойчивости вертикального положения волчка. В этом
случае
cos
и неравенство (3.25) принимает вид
.0))cos1(1()cos1(
2
≤+−−
θβθ
2
Отсюда следует, что при выполнении условия
≤
β
т.е.
неравенство выполняется только при mgl4 cos 1=
θ
,
т.е. единственно возможным является вертикальное
положение волчка.
Более детально можно проанализировать движение
«быстрого» волчка, который определяется условием
β
<<1,
т.е.
>> Предполагая снова, что волчок начинает
движение из состояния покоя (
), получаем, что
нижняя граница значений
2
Η
.2mgl
0,0 ==
Ψθ
θ
cos
=
u
2
01
sincos
θβθ
−≈u
приближенно
оценивается величиной
, т.е.
движение происходит в узком диапазоне значений угла
нутации, определяемом неравенством
0
.coscossincos
00
2
0
θθθβθ
≤≤−
Дифференцируя уравнение (3.24) по времени с
последующим сокращением на
и отбрасывая члены
второго порядка малости, получаем линеаризованное
уравнение
u
.0sin)cos(
0
2
0
2
2
1
=+−+
θβθα
uu
Ψ (t ) = Ψ (0), а движение волчка представляет собой
регулярную прецессию вокруг вертикали.
Неравенство (3.25) позволяет определить условие
устойчивости вертикального положения волчка. В этом
случае cos θ 0 = 1 и неравенство (3.25) принимает вид
(1 − cosθ ) 2 (1 − β (1 + cosθ )) ≤ 0.
Отсюда следует, что при выполнении условия 2 β ≤ 1, т.е.
Η 2 ≥ 4mgl неравенство выполняется только при cos θ = 1 ,
т.е. единственно возможным является вертикальное
положение волчка.
Более детально можно проанализировать движение
«быстрого» волчка, который определяется условием β <<1,
2
т.е. Η >> 2mgl. Предполагая снова, что волчок начинает
движение из состояния покоя ( θ = 0,Ψ = 0 ), получаем, что
нижняя граница значений u = cosθ приближенно
u1 ≈ cosθ 0 − β sin θ 0 ,
2
оценивается величиной т.е.
движение происходит в узком диапазоне значений угла
нутации, определяемом неравенством
cosθ 0 − β sin 2 θ 0 ≤ cosθ ≤ cosθ 0 .
Дифференцируя уравнение (3.24) по времени с
последующим сокращением на u и отбрасывая члены
второго порядка малости, получаем линеаризованное
уравнение
1
α 2 u + (u − cosθ 0 ) + β sin 2 θ 0 = 0.
2
62
