ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
12
сопротивляется изгибу. Предполагаем также, что внешние силы лежат в
вертикальной плоскости, в которой совершают колебания точки струны.
Рассмотрим элемент струны между точками
x
и d
x
x
+ (рис. 1.1) и
обозначим смещение точек струны через ),(
t
x
u , а длину элемента струны через
d
s
.
Тогда
∫
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+=
dxx
x
dx
x
u
ds
2
1
2
1,
откуда, предполагая смещение струны ),(
t
x
u малыми настолько, что
1
2
<<
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
x
u
, (1.14)
получаем d
x
d
s
≈ , т. е. в пределах принятой точности удлинения участков
струны в процессе колебаний не происходит. Следовательно, согласно закону
Гука величина натяжения в каждой точке струны не меняется со временем и
является функцией только
x
, т. е. )(
x
T
T
= .
Рис. 1.1. Иллюстрация к выводу уравнения колебаний струны
Запишем условия динамического равновесия элемента струны, на который
действуют в плоскости Oxu силы натяжения )(
1
xTT = , )(
2
dxxTT += , внешняя
распределенная по длине дуги с линейной плотнос тью ),(
t
x
F
поперечная сила
и сила инерции, направленная вдоль оси Ou .
Проектируя силы на ось O
x
, получаем
.0)cos()()cos()(
12
=−+
θ
θ
xTdxxT (1.15)
Так как, согласно тождес твам тригонометрии и геометрического смысла
производной,
,
),(
1
1
)(tg1
1
)cos(
,
),(
1
1
)(tg1
1
)cos(
2
1
2
1
2
2
2
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
=
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
+∂
+
=
+
=
x
txu
x
tdxxu
θ
θ
θ
θ
(1.16)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- …
- следующая ›
- последняя »
