ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
13
то, учитывая условие (1.15), из (1.16) получим )()(
x
T
d
x
x
T
=+ . Откуда, в силу
произвольности выбора точек
x
и d
x
x
+ , следует, что величина натяжения не
зависит и от
x
, т. е. является постоянной, constTxT ==
0
)(.
Проектируя те перь все силы на ось Ou , получаем
∫∫
++
+−=
∂
∂
dxx
x
dxx
x
dztzFTTdz
t
tzu
z ,),()sin()sin(
),(
)(
1020
2
2
θθρ
(1.17)
где )(
x
ρ
– линейная плотность струны.
Аналогично формулам (1.16) устанавливаем
,
),(
1
),(
)(tg1
)(tg
)sin(
2
2
2
2
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
+∂
+
∂
+∂
=
+
=
x
tdxxu
x
tdxxu
θ
θ
θ
,
),(
1
),(
)(tg1
)(tg
)sin(
2
1
2
1
1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
=
+
=
x
txu
x
txu
θ
θ
θ
откуда, согласно ус ловию (1.14), имеем
.
),(
)sin( ,
),(
)sin(
12
x
txu
x
tdxxu
∂
∂
≈
∂
+∂
≈
θθ
Теперь, применяя для входящих в формулу (1.17) интегралов теорему о
среднем, а для ),( tdxxu
x
+
′
– формулу Тейлора первого порядка с ос та тком в
форме Пеа но, получаем
,),()(
),(),(
)(
2
2
2
0
2
1
2
1
dxtFdxodx
x
txu
Tdx
t
tu
ξ
ξ
ξρ
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
∂
∂
=
∂
∂
где
1
ξ
и
2
ξ
принадлежат отрезку
[]
dxxx +,. Почленно деля последнее
равенство на d
x
и осуществляя предельный переход при 0→d
x
, получаем
уравнение колебания струны следующего вида:
),(
),(),(
)(
2
2
0
2
2
txF
x
txu
T
t
txu
x +
∂
∂
=
∂
∂
ρ
. (1.18)
Если струна дополнительно по всей длине связана с вязкоупругим
основанием, то для описания ее колебания можно получить уравнение
),,(
),(
),(
),(),,(),(),(
),(),(
)(
0
2
2
0
2
2
txF
t
txu
tx
dxutxQtxutx
x
txu
T
t
txu
x
t
+
∂
∂
−
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−
∂
∂
=
∂
∂
∫
γ
τττβρ
(1.19)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- …
- следующая ›
- последняя »
