ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
18
условий для уравнения (1.30) можно получить из условий (1.8) при
соответствующем выборе значений коэффициентов
ii
ba ,.
Таким образом, рассматриваемые статические краевые задачи для струны и
стержня ма тем а тичес ки формулируется так же, как и задача стационарной
теплопроводности из раздела 1.2.
1.8. Краевые задачи в теории колебаний струн и стержней
Пред положим, что геометрические и прочностные характеристики упругих
тел (струны, стержня) и оснований, на которые они опираются, зависят только
от
x
, и запишем уравнения движения без учета демпфирования и старения.
Уравнение продольных колебаний струны
).,(),()(
),(),(
)(
2
2
0
2
2
txFtxux
x
txu
T
t
txu
x +−
∂
∂
=
∂
∂
βρ
(1.31)
Уравнение продольных колебаний стержня
).,()(),()(
),(
)()(
),(
)()(
2
2
txFxStxux
x
txu
xExS
x
t
txu
xSx +−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
βρ
(1.32)
Уравнение крутильных колебаний стержня
).,(),()(
),(
)()(
),(
)()(
0
2
2
0
txFtxux
x
txu
xGxJ
x
t
txu
xJx +−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
βρ
(1.33)
Уравнения (1.31)–(1.33) являются уравнениями гиперболического типа.
Рассмотрим гармонические колебания упругих тел. В этом случае решение
уравнений (1.31)–(1.33) и приложенную внешнюю нагрузку ),(
t
x
F
предс тавим
в виде:
),sin()(),( ),sin()(),(
**
ϕ
ω
ϕ
ω
+=+= txFtxFtxutxu (1.34)
где
ω
(частота колебаний) и
ϕ
– постоянные. Тогда для )()(
*
xyxu = получим
уравнение (1.30), в котором )(
x
F
следует заменить на )(
*
xF , а )(
x
β
– на )(
*
x
β
,
где
2
*
)()()(
ωρββ
xxx −= соответствует уравнению (1.31),
2
*
)()()()(
ωρββ
xSxxx −= – уравнению (1.32),
2
0*
)()()()(
ωρββ
xJxxx −= – уравнению (1.33).
Приведем основные типы граничных условий при a
x
= .
а) );(),( ttxu
a
ξ
= это условие соответствует движению левого конца струны
или стержня по закону )(t
a
ξ
.
б) );(
),(
)( tq
x
tau
aK
a
=
∂
∂
это условие соответствует заданию на левом конце
стержня продольной силы )(),( tqtaN
a
= для задачи (1.32) и заданию крутящего
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- …
- следующая ›
- последняя »
