ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
20
2. Решение краевой задачи для линейного обыкновенного
дифференциального уравнения второго порядка методом
Галеркина.
2.1. Постановка задачи и алгоритм метода
Рассмотрим следующую краевую задачу: требуе тс я на отрезке
[]
ba, найти
решение )(
x
Y дифференциального уравнения
[]
),()()( xfyxqyxpyyL =+
′
+
′′
= (2.1)
удовлетворяющее условиям
⎩
⎨
⎧
=
′
+
=
′
+
,)()(
,)()(
210
210
bbybbyb
aayaaya
(2.2)
где )(),(),(
x
f
x
q
x
p – заданные функции, непрерывные на
[]
ba,; ,,,,
0210
baaa
21
, bb – заданные действительные числа, причем ,0
2
1
2
0
>+ aa .0
2
1
2
0
>+ bb
Напомним, что в отличие от имеющей всегда единс твенное решение
задачи Коши для уравнения (2.1), краевая задача (2.1), (2.2) может иметь или
одно решение, или бесконечно много решений, или, наконец, может совсем не
иметь решений.
Везде далее будем предполагать существование единс твенного решения
)(
x
Y поставленной краевой задачи, что часто вытекает из физического смысла
того явления или процесса, математическое моделирование которого привело к
задаче (2.1), (2.2).
В методе Галеркина для нахождения приближенного решения
рассматриваемой задачи строится функциональная последовательнос ть
{
}
∞
0
)(xy
n
из пробных решений )(xy
n
следующим образом.
Задаемся на отрезке
[]
ba, некоторой системой дважды непрерывно
дифференцируемых функ ций )(),...,(),(
10
xuxuxu
n
таких, что )(
0
xu
удовлетворяет краевым условиям (2.2), а функции )(),...,(),(
21
xuxuxu
n
,
называемые пробными функциями, линейно независимы на
[]
ba, и
удовлетворяют однородным краевым условиям
⎩
⎨
⎧
=
′
+
=
′
+
.0)()(
,0)()(
10
10
bubbub
auaaua
(2.3)
Составляем функцию
∑
=
+=
n
i
iin
xuCxuxy
1
0
)()()( (2.4)
с неизвестными пока постоянными коэффициентами
n
CCC ,...,,
21
. Подчеркнем,
что в силу линейнос ти условий (2.2), функция (2.4) при любых значениях
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- …
- следующая ›
- последняя »
