Алгоритмы методов взвешенных невязок для решения линейных задач математической физики и их реализация в системе MathCAD. Анкилов А.В - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

21
n
CC ,...,
1
удовлетворяет этим условиям. Подс тавляя функцию )(xy
n
из (2.4)
вместо )(
x
y
в уравнение (2.1), получаем функцию
[] []
∑
=
+−=
n
i
iin
uLCxfuLxCCCR
1
021
,)(),,...,,( (2.5)
которая называется невязкой. Как видно из (2.5), невязка линейно зависит от
параметров
n
CCC ,...,,
21
и является характеристикой уклонения функции (2.4)
от точного решения )(
x
Y задачи (2.1), (2.2). Во всяком случае, ес ли при
некоторых значениях параметров
n
CCC ,...,,
21
невязка на ],[ ba тождес твенно
равна нулю, то )()( xyxY
n
≡ в силу единственности )(
x
Y .
Однако в общем случае невязка оказывается отличной от нуля. Поэтому
подбираем значения параметров
n
CC ,...,
1
так, чтобы невязка в каком-то смысле
была бы наименьшей. В обобщенном методе Галеркина значения параметров
n
CC ,...,
1
определяются из системы уравнений
(
)
(
)
,,1 ,0)(,,,...,
1
nkxWxCCR
kn
== (2.6)
где
∫
=
b
a
dxxgxxgx )()())(),((
ϕϕ
, (2.7)
а )(),...,(
1
xWxW
n
– заданные непрерывные и линейно независимые на
[]
ba,
функции, часто называемые поверочными функциями. Заметим, что если в
качестве поверочных функций взять пробные, то получится метод Галеркина в
авторском варианте [1]. Заметим также, что если )(),...,(
1
xWxW
n
входят в
полную систему функций, то при ∞→n равенства (2.6) свидетельс твуют об
ортогональнос ти невязки всем элементам полной системы [3]. Значит, невязка
сходится при ∞→n к нулю в среднем, и можно ожидать сходимости
последовательности (2.4) к точному решению )(
x
Y в среднем, т. е.
(
)
.0)()(),()(lim =−−
∞→
xyxYxyxY
nn
n
Записав условие (2.6) в развернутом виде, для определения значений
параметров
n
CC ,...,
1
получаем неоднородную систему линейных
алгебраических уравнений n-го порядка
∑
=
==
n
j
kjkj
nkbCa
1
,.1 , (2.8)
где
[]
[]
∫
∫
−
′
−
′′
−=−=
+′+′′==
b
a
kkk
b
a
kjjjkjkj
dxWquupuxfxWuLxfb
dxWquupuxWuLa
.))(())(,)((
,)())(,(
0000
(2.9)
Решив систему (2.8) и подставив определяемые этим решением значения
параметров
n
CC ,...,
1
в (2.4), заканчиваем построение пробного решения )(xy
n
.

Страницы