Алгоритмы методов взвешенных невязок для решения линейных задач математической физики и их реализация в системе MathCAD. Анкилов А.В - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

23
Извес тно, что степенные функции ,...,...,,,1
2 n
xxx линейно независимы на
всей числовой прямой
R
и, следовательно, на любом ее отрезке
[]
R⊂ba,.
Покажем, что на любом отрезке
[]
ba, линейно независима любая система
многочленов последовательных степеней. Рассмотрим произвольную систему
многочленов:
0 ,...)(
;0 ,)(
;0 ,)(
;0)(
0
1
1
222021
2
222
1110111
000
≠+++=
≠++=
≠+=
≠=
−
− nnn
n
nn
n
nnn
AAxAxAxP
AAxAxAxP
AAxAxP
AxP
LLLLLLLLLLLLLLLLLL
и решим относительно неизвестных
n
α
α
α
,...,,
10
определенное на R тождес тво
0)(...)()(
1100
≡+++ xPxPxP
nn
α
α
α
. (2.10)
Из условий тождес твен ного равенства нулю многочлена n -й степени
(равенство нулю коэффициентов при всех степенях
x
) последовательно
получаем
.00...
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
;00
;00
00001011010n
11111
=⇔=++++
=⇔=+
=⇔=
−−
−−−−−
ααααα
ααα
α
α
AAAA
AA
A
nnn
nnnnnnn
nnnn
Таким образом, условие (2.10) выполняется тогд а и тол ько тогда, когда
0...
10
====
n
α
α
α
, т. е. система многочленов )(),...,(
0
xPxP
n
и любая
подсистема из них линейно независима на
R
и, следовательно, на любом
[]
R⊂ba,.
Для построения )(
0
xu и линейно независимой на
[]
ba,, системы пробных
функций )(),...,(
1
xuxu
n
, являющихся многочленами, можно применить метод
неопределенных коэффициентов.
Например, предположим )(
00
xPAu == , из ус ловий (2.2) получаем систему
линейных алгебраических уравнений относительно A
⎩
⎨
⎧
=
=
.
,
20
20
bAb
aAa
В том случае, когда эта система совместна, коэффициент A определяется. Если
система не совместна, то ищем аналогичным образом )(
0
xu в виде
)()(
10
xPBxAxu =+= и т. д., до тех пор, пока не будет найдена )()(
0
0
xPxu
r
= ,
удовлетворяющая условиям (2.2).
Далее, используя условия (2.3), методом неопределенных коэффициентов
определяем последовательно так же, как и )(
0
xu ,

Страницы