Алгоритмы методов взвешенных невязок для решения линейных задач математической физики и их реализация в системе MathCAD. Анкилов А.В - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

37
3. Решение краевой задачи для линейного обыкновенного
дифференциального уравнения второго порядка
вариационным методом Ритца
3.1. Постановка задачи и алгоритм метода
Рассмотрим краевую задачу в следующей постановке.
Требуется на отрезке
[]
ba, найти решение )(
x
Y дифференциального
уравнения
()
)()()(][ xgyxyxKyL =−
′
′
≡
β
, (3.1)
удовлетворяющее двум краевым (или граничным) условиям
⎩
⎨
⎧
=
′
+
=
′
+
,)()(
,)()(
210
210
baybayb
aayaaya
(3.2)
где )(
x
K
, )(xK
′
, )(
x
β
, )(
x
g
– заданные непрерывные на
[]
ba, функции
(0)( >
x
K
);
210210
,,,,, bbbaaa – заданные действительные числа, причем
0
2
1
2
0
>+ aa , 0
2
1
2
0
>+ bb . (3.3)
Заметим, что краевая задача (2.1), (2.2) может быть сведена к задаче (3.1),
(3.2) после умножения уравнения (2.1) на положительный множитель
dttp
x
a
exK
∫
=
)(
)( , (3.4)
и тогда )()()(
x
q
x
K
x
−=
β
, )()()(
x
f
x
K
x
g
= .
Идея вариационного метода состоит в замене краевой задачи (3.1), (3.2)
равносильной задачей об отыскании дважды непрерывно дифференцируемой
на
[]
ba, функции )(
x
Y , доставляющей экстремум следующему функционалу
()()
()
),(2)(2)(2)(
)(2)()(2)()()(
2
222
ayqbyqayTay
byTbydxyxgyxyxKyJ
abaa
bb
b
a
−+−+
+−+++
′
=
∫
α
αβ
(3.5)
причем значения параметров
bababa
TTqq ,,,,,
α
α
в этом функционале
определяются в зависимости от значений
210210
,,,,, bbbaaa по таблице 3.1.
Таблица 3.1.
Значения параметров функционала
№
0
a
1
a
0
b
1
b
a
T
b
T
a
α
b
α
a
q
b
q
1 0≠ 0 0≠ 0
0
2
a
a
0
2
b
b
0 0 0 0
2 0≠ 0 0 0≠
0
2
a
a
0 0 0 0
)(
1
2
bK
b
b
−
Продолжение табл ицы 3.1.

Страницы