Алгоритмы методов взвешенных невязок для решения линейных задач математической физики и их реализация в системе MathCAD. Анкилов А.В - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

41
⎩
⎨
⎧
≠
=
=
;0 если ,2
;0 если ,1
1
1
1
a
a
n
⎩
⎨
⎧
≠
=
=
.0 если ,2
;0 если ,1
1
1
2
b
b
n
Напомним также, что пробные функции )(xu
i
, 1≥i можно выбрать из
собственных функций соответствующей задачи на собственные значения,
представляемых в виде
)sin()cos()( xBxAxu
kkkkk
λλ
+= . (3.13)
Приведем теперь еще несколько примеров построения пробных функций
для некоторых вариантов граничных условий (3.2).
Пример 1. Построить )(
0
xu и систему пробных функций для задачи (3.1) с
краевыми условиями 2)0( =
′
y , 3)1( =
′
y .
Решение. Пус ть
2
0
CxBxu += . Тогда из граничных условий находим
2=
B
, 32 =+ C
B
, т. е. 2=
B
, 21=C . Итак,
2
0
2
1
2)( xxxu += .
Функции )(xu
k
, 1≥k будем искать в виде (3.13)
)sin()cos()( xBxAxu
kkkkk
λλ
+= .
Удовлетворяя однородным граничным условиям, получим 0=
k
B ,
0)sin( =x
k
λ
. Отсюда имеем
πλ
k
k
= ,
22
)(
πλ
k
k
= , ,...2,1=k . Тогда, обозначая
kk
BC = , находим )cos()( xkCxu
kk
π
= . Таким образом пробное решение можно
искать в виде
)cos(
2
1
2)(
1
2
xkCxxxy
n
k
kn
π
∑
=
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+= .
Если же функции )(xu
k
(1≥k ) взять в виде (3.11), то
12
1
2
)1(
2
1
2)(
+
=
−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
∑
k
n
k
kn
xxCxxxy ,
если же в виде (3.12), то
21
1
2
)1(
2
1
2)( xxCxxxy
k
n
k
kn
+
=
−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
∑
.
Пример 2. Построить )(
0
xu и систему пробных функций для краевой
задачи с ус ловиями 2)0( =
′
y , 4)1( =
y
.
Решение. Положим BxAxu +=)(
0
. Удовлетворяя граничным условиям,
находим 2=
B
, 4=+
B
A , т. е. 2=A , 2=
B
, следовательно, xxu 22)(
0
+= .
Зададим
)sin()cos()( xBxAxu
kkkkk
λλ
+= .
Согласно однородным граничным условиям имеем

Страницы