Алгоритмы методов взвешенных невязок для решения линейных задач математической физики и их реализация в системе MathCAD. Анкилов А.В - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

42
0=
k
B , 0)cos( =x
k
λ
,
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
πλ
2
12k
k
, ,...3,2,1=k
Вводя обозначение
kk
AC = , получаем
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
= x
k
Cxu
kk
π
2
12
cos)(, 1≥k .
Тогда
∑
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
++=
n
k
kn
x
k
Cxxy
1
2
12
cos22)(
π
.
Ис пользуя же пробные функции вида (3.11), (3.12), получаем
∑
=
+
−++=
n
k
k
kn
xxCxxy
1
1
)1(22)(
или
∑
=
−++=
n
k
k
kn
xxCxxy
1
2
)1(22)(.
Пример 3. Построить )(
0
xu и систему пробных функ ций для задачи с
граничными условиями 1)0()0(2 −=
′
yy , 3)1( =
y
.
Решение. Ищем искомые функции в виде BxAxu +=)(
0
,
)sin()cos()( xBxAxu
kkkkk
λλ
+= , 1≥k .
Потребуем, чтобы функция )(
0
xu удовлетворяла неоднородным граничным
условиям. Тогда 12 −= A
B
, 3=+
B
A , т. е. 3/7−=A , 3/2=
B
, следовательно,
xxu
3
2
3
7
)(
0
+−= .
Из соответс твующих однородных условий находим
02 =−
kkk
AB
λ
, 0)sin()cos( =+
kkkk
BA
λλ
.
Откуда получаем
kkk
AB =
λ
2 и трансцендентное уравнение
kk
λλ
2)(tg −= (3.14)
для определения собственных значений.
Последне е уравнение имеет счетное множество дейс твительных корней
,...,
21
λ
λ
, что подтверждает рисунок 3.1.
Корни уравнения (3.14) определяются приближенным и численными
методами, например, метод хорд, метод Ньютона, методом итерации или
методом половинного деления. В системе MathCAD корни уравнений
отыскиваются с помощью стандартной функции root (см. п. 8.2).
Таким образом, обозначая
kk
AC = , имеем
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+= )sin(
2
1
)cos()( xxCxu
k
k
kk
λ
λ
λ
,
тогда

Страницы