Алгоритмы методов взвешенных невязок для решения линейных задач математической физики и их реализация в системе MathCAD. Анкилов А.В - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

55
Задаемся в области
D
некоторой системой дважды дифференцируемых
функций )(...,),(),,(
10
xuxutxu
n
так их, что ),(
0
txu удовлетворяет краевым
условиям (5.2), а пробные функции )(xu
i
)1( ≥i являются линейно независимы
на
[]
ba, и удовлетворяют однородным краевым условиям
⎩
⎨
⎧
=
′
+
=
′
+
.0)()(
,0)()(
10
10
bubbub
auaaua
(5.6)
Составляем функцию
∑
=
+=
n
k
kkn
xutvtxutxu
1
0
)()(),(),( (5.7)
с неизвестными пока функциями
)(...,),(),(
21
tvtvtv
n
, зависящими только от
аргумента
t
.
Подчеркнем, что в силу линейнос ти условий (5.2) и (5.6), функция (5.7)
удовлетворяет условиям (5.2) при любых функциях )(),...,(
1
tvtv
n
. Значит,
следует так определить )(tv
i
)
1
(
≥
i
и количество
)
(
n этих функций, чтобы
),( txu
n
из (5.7) удовлетворяла уравнению (5.1) и начальному условию (5.3) с
заданной точ нос ть ю.
Подс тавляя ),( txu
n
вместо
)
,
(
t
x
u в уравнение (5.1), получаем невязку
()
),(),(
),()(,),(),...,(
1
0
1
0
11
2
0
2
0
11
txguvutxuv
x
u
x
K
uv
x
u
txK
t
u
xu
dt
dv
txtvtvR
n
k
kk
n
k
kk
n
k
n
k
kkk
k
n
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
′+
∂
∂
∂
∂
−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
′′
+
∂
∂
−
∂
∂
+=
∑∑
∑∑
==
==
β
или
()
.
,,,...,
0
0
0
2
0
2
11
11
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−++
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
−
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
′
∂
∂
+
′′
−=
∑∑
==
t
u
gu
x
u
x
K
x
u
K
vuu
x
K
uK
dt
dv
utxvvR
n
k
kkkk
n
k
k
kn
β
β
(5.8)
Подс тавляя )0,(
0
xu , в полученную из (5.7) при 0=
t
, в (5.3), находим
невязку
()
)()()0()0,(),0(),...,0(
1
012
xfxuvxuxvvR
n
k
kkn
−+=
∑
=
. (5.9)
Невязки
1
R и
2
R являются характеристиками уклонения функции (5.7) от
точ ного решения
)
,
(
t
x
U задачи (5.1)–(5.4). Во всяком случае, если при
некотором наборе функций )(),...,(
1
tvtv
n
0
1
≡R и 0
2
≡R , то функция ),( txu
n
из
(5.7) – точное решение
)
,
(
t
x
U .
В общем случае эти невязки оказываются отличными от нуля. Поэ тому
накладываем дополнительные условия на функции )(tv
k
и их начальные
значения )0(
k
v так, чтобы невязки в каком-то смысле были бы наименьшими.

Страницы