ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
57
(
)
(
)
()
(
)
,,,,
1,
1,
n
j
n
k
n
kj
n
kj
vVbBcCaA ====
то система (5.12) в матричном виде запишется так
BCV
dt
dV
A += . (5.16)
Покажем, что матрица A всегда невырожденная, т. е. 0de
t
≠A .
Рассмотрим однородную линейную алгебраическую систему уравнений
относительно неизвестных
n
λ
λ
λ
,...,,
21
()
∑
=
==
n
j
jkj
nkwu
1
,1,0,
λ
. (5.17)
Если 0de
t
=A , то система (5.17) имеет множество ненулевых решений.
Пус ть одним из так их решений является совокупность
n
λ
λ
λ
,...,,
21
, где,
например, 0
≠
m
λ
. Подс тавляя это решение в уравнение системы (5.17),
суммируя все получившиеся при этом равенства и используя свойства
скалярного произведения, получаем
()
0...,...
111
=++++
nnn
wwuu
λ
λ
, 0≠
m
λ
.
Так как функции )(xw
k
линейно независимы, то 0...
1
≡
/
++
n
ww . Значит,
должно выполнятся тождес тво 0,0...
11
≠≡++
mnn
uu
λ
λ
λ
. Но это невозможно
из-за линейной независимости функций
n
uu ,...,
1
. Значит, ненулевых решений у
системы (5.17) нет, а для этого необходимо и достаточно, чтобы 0de
t
≠A .
Таким образом, матрица A невырожденная и, следовательно, имеет обратную
матрицу
1−
A .
Теперь из (5.16) получаем
()
BCVA
dt
dV
+=
−1
. (5.18)
Таким образом, функции )(tv
j
должны удовлетворять нормальной системе
линейных обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка.
Заметим, что если функции
)
,
(
)
,,
(
t
x
t
x
K
β
зависят тол ько от
x
, то система (5.18)
– система с постоянными коэффициентами. Заметим так же, что если в качестве
поверочных функций выбраны пробные, которые ортогональны, то матрицы A
и
1−
A являются диагональными матрицами.
Запишем теперь в развернутом виде условия (5.11). Получаем
()
()
;0)(),()0,()0()(),(
)(),()()0()0,(
0
1
1
0
=−+=
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
∑
∑
=
=
xwxfxuvxwxu
xwxfxuvxu
k
n
j
jkj
k
n
j
jj
или
()
()
;,1,)(),0,()()0()(),(
0
1
nkxwxuxfvxwxu
kj
n
j
kj
=−=
∑
=
или
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 55
- 56
- 57
- 58
- 59
- …
- следующая ›
- последняя »
