Алгоритмы методов взвешенных невязок для решения линейных задач математической физики и их реализация в системе MathCAD. Анкилов А.В - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

58
;,1,)0(
1
nkdva
k
n
j
jkj
==
∑
=
(5.19)
где
kj
a определяются формулами (5.13), а
()()
∫
−=−=
b
a
kkk
dxxwxuxfxwxuxfd .)()0,()()(),0,()(
00
Если ввести матрицу
()
1,n
k
dD = , то из (5.19) получаем
DAV
1
)0(
−
= . (5.20)
Таким образом, для нахождения функций
nktV
k
,1),( = , определяющих
пробное решение (5.7), получаем задачу Коши для нормальной системы (5.18)
линейных обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка с
начальными условиями (5.20). Решив указанную задачу Коши и подставив
определяемые этим решением функции )(tv
k
в (5.7), заканчиваем построение
пробного решения ),( txu
n
.
Опишем возможный алгоритм построения приближенного решения задачи
(5.1)–(5.3) методом Галеркина, предполагая, что последовательность
{}
∞
0
),( txu
n
сходится равномерно к точному решению
)
,
(
t
x
U .
1.
Подго товительный шаг алгоритма. На этом шаге выбираем функцию
),(
0
txu и находим невязку
[]
),(),(
010
txguLtxR −= от подстановки функции
),(
0
txu в уравнение (5.1). Находим невязку )()0,()(
020
xfxuxR −= для условия
(5.3). Определяем
1010
),(
max
Δ=txR
D
и
[]
2020
,
)(
max
Δ=xR
ba
.
Если
110
ε
≤Δ и
220
ε
≤Δ , где
1
ε
и
2
ε
заданные меры точнос ти приближенного
решения, то полагаем ),(
~
),(
0
txutxU − . В противном случае переходим к
следующему шагу алгоритма, предварительно выбрав )(xu
j
и поверочные
)(xw
k
функции.
2. Первый шаг алгоритма.
Определив функцию )(
1
tv из решения задачи
Коши (5.18), (5.20) при 1
=n , строим функции )()(),(
1101
xutvutxu += . Нахо дим
по формулам (5.8), (5.9) невязки
()()
xvRtxtvR ),0(,,),(
121111
и определяем
()
11111
,,
max
Δ=txvR
D
и
[]
()
21121
,
),0(
max
Δ=xvR
ba
. Если
111
ε
≤Δ и
221
ε
≤Δ , то
полагаем ),(
~
),(
1
txutxU − , и вычисления заканчиваем. В противном случае
переходим к вычислениям на втором шаге алгоритма и т. д.
Таким образом, на
m
-ом
()
1≥m шаге алгоритма строим функцию
∑
=
+=
m
k
kkm
xutvtxutxu
1
0
),()(),(),(
определив предварительно функции )(),...,(
1
tvtv
m
из решения задачи Коши
(5.18), (5.20) при
m
n = . Находим по формулам (5.8), (5.9) невязки

Страницы