Алгоритмы методов взвешенных невязок для решения линейных задач математической физики и их реализация в системе MathCAD. Анкилов А.В - 76 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

76
решений ),( txu
n
следующим образом. Задаемся в области
D
некоторой
системой дважды дифференцируемых функций )(...,),(),,(
10
xuxutxu
n
таких,
что ),(
0
txu удовлетворяет краевым условиям (6.2), а пробные функции )(xu
i
)
1
(
≥
i
являются линейно независимыми на
[]
ba, и удовлетворяют однородным
краевым условиям
⎩
⎨
⎧
=
′
+
=
′
+
.0)()(
,0)()(
10
10
bubbub
auaaua
(6.5)
Составляем функцию
∑
=
+=
n
k
kkn
xutvtxutxu
1
0
)()(),(),( (6.6)
с неизвестными пока функциями
)(),...,(
1
tvtv
n
, зависящими только от аргумента t.
Подчеркнем, что в силу линейнос ти условий (6.2) и (6.5), функция (6.6)
удовлетворяет условиям (6.2) при любых функциях )(),...,(
1
tvtv
n
. Значит,
следует так определить )(tv
i
)
1
(
≥
i
и количество
)
(
n этих функций, чтобы
),( txu
n
из (6.6) удовлетворяла уравнению (6.1) и начальным условиям (6.3),
(6.4) с заданной точ нос тью.
Подс тавляя ),( txu
n
вместо
)
,
(
t
x
u в уравнение (6.1) , получаем невязку
) ()
),(),(),(),(
),(),(,,)(),...,((
1
0
1
0
2
1
2
0
2
1
0
2
0
2
1
2
2
11
txguvutxuv
x
u
txKuv
x
u
txK
t
u
tx
t
u
xu
t
v
tx
t
v
txtvtvR
n
k
kk
n
k
kk
n
k
kk
n
k
k
kk
n
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
′
+
∂
∂
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
′′
+
∂
∂
−
−
∂
∂
+
∂
∂
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
=
∑∑∑
∑
===
=
β
γγ
или
) ()
.
,,,...,(
0
2
0
2
0
0
2
2
0
2
1
1
21
11
2
2
11
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
−++
∂
∂
+
∂
∂
−
−+
′
+
′′
−
∂
∂
−
∂
∂
=
∑∑∑
===
t
u
t
u
gu
x
u
K
x
u
K
vuuKuK
t
v
u
t
v
utxvvR
n
k
kkkk
n
k
k
k
n
k
k
kn
γβ
βγ
(6.7)
Подс тавляя )0,(xu
n
в (6.3), находим невязку
()
)()()0()0,(),0(),...,0(
1
012
xfxuvxuxvvR
n
k
kkn
−+=
∑
=
. (6.8)
Подс тавляя
t
xu
n
∂
∂ )0,(
, находим невязку
()
)()()0(
)0,(
),0(),...,0(
1
0
13
xxuv
t
xu
xvvR
n
k
kkn
ϕ
−+
∂
∂
=
∑
=
&&& . (6.9)
Невяз ки
1
R ,
2
R и
3
R являются характеристиками уклонения функции (6.6)
от точного решения
)
,
(
t
x
U задачи (6.1)–(6.4). Во всяком случае, если при
некотором наборе функций )(tv
j
0
1
≡R , 0
2
≡R и 0
3
≡R , то функция ),( txu
n
из
(6.6) – точное решение.

Страницы