Алгоритмы методов взвешенных невязок для решения линейных задач математической физики и их реализация в системе MathCAD. Анкилов А.В - 79 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

79
()
0)(),(
)0,(
)0(
)(),(
)(),()(
)0(
)0,(
0
1
1
0
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
∂
∂
+=
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
∂
∂
∑
∑
=
=
xwx
t
xu
dt
dv
xwxu
xwxxu
dt
dv
t
xu
k
n
j
j
kj
k
n
j
j
j
ϕ
ϕ
или
()
;,1,
0
1
nkr
dt
dv
a
k
n
j
j
kj
==
∑
=
(6.22)
где
kj
a определяются формулами (6.14), а
∫
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−=
b
a
kkk
dxxw
t
xu
xxw
t
xu
xr .)(
)0,(
)()(,
)0,(
)(
00
ϕϕ
(6.23)
Если ввести матрицу
()
1,n
k
rR = , то из (6.22) получаем
.
)0(
1
RA
dt
dV
−
= (6.24)
Заметим, что если 0
)
(
≡
x
ϕ
и ),(
0
txu зависят тол ько от
x
, то nkv
k
,1,0)0( ==& и
.0
3
≡R
Таким образом, для нахождения функций
nktv
k
,1),( = , определяющих
пробное решение (6.6), получаем задачу Коши для канонической системы (6.18)
линейных обык новенных дифференциальных уравнений порядка n2 с
начальными условиями (6.21) и (6.24). Решив указанную задачу Коши и
подставив определяемые этим решением функции )(tv
k
в (6.6), заканчиваем
построение пробного решения ),( txu
n
.
Опишем возможный алгоритм построения приближенного решения задачи
(6.1)–(6.4) методом Галеркина, предполагая, что последовательность
{}
∞
1
),( txu
n
сходится равномерно к точному решению
)
,
(
t
x
U .
1. Подготовительный шаг алгоритма.
На этом шаге выбираем функцию
),(
0
txu и находим невязку
[]
),(),(
010
txguLtxR −= от подс тановки функции
),(
0
txu в уравнение (6.1). Находим невязку )()0,()(
020
xfxuxR −= для условия
(6.3) и невязку
)(
)0,(
)(
0
30
x
t
xu
xR
ϕ
−
∂
∂
= для условия (6.4). Определяем
1010
),(max Δ=txR
D
,
[]
2020
,
)(max Δ=xR
ba
и
[]
3030
,
)(max Δ=xR
ba
. Если
110
ε
≤Δ ,
220
ε
≤Δ
и
330
ε
≤Δ , где
1
ε
,
2
ε
и
3
ε
– заданные меры точ нос ти приближенного решения,
то полагаем ),(
~
),(
0
txutxU − . В противном случае переходим к следующему
шагу алгоритма, предварительно выбрав пробные )(xu
j
и поверочные )(xw
k
функции. Как выбирать пробные и поверочные функции, показано в разделе 5.2
данной работы.
2. Первый шаг алгоритма.
Определив функцию )(
1
tv из решения задачи
Коши (6.18), (6.21) и (6.24) при 1
=n , строим функцию )()(),(
1101
xutvutxu += .

Страницы