Составители:
Рубрика:
Величина
S
2
вводится потому, что при вычислении всегда возникает
систематическая ошибка, приводящая к уменьшению дисперсии, особенно для
малых выборок. Так, при
n = 25 и S
2
отличаются примерно на 4 %. Величи-
на
S
2
ближе к истинной дисперсии случайной величины Х.
*
x
D
*
x
D
Модой называется
x
i
значение, которому соответствует наибольшая
частота
*
x
M
.
n
n
P
i
*
x
=
Коэффициентом вариации
V называется величина:
V =
100
m
x
x
⋅
∗
∗
σ
%. (2.1.6)
Функции распределения случайных величин могут зависеть от некоторых чи-
словых характеристик. Например, нормальный закон распределения зависит от
двух параметров:
m и
σ
, закон распределения Пуассона зависит от одного парамет-
ра
λ
, и т. д. Если значение некоторого параметра неизвестно, то при проведении
серии опытов это значение уточняется и может быть приближенно вычислено.
Оценкой параметра
Θ
называется функция выборочных значений
Ψ
(x
1
, x
2
, ... , x
n
) =
Ψ
n
, которая в определенном смысле приближается к точечному
Θ
значению. Оценка
Ψ
n
может отличаться от
Θ
в той или иной мере. Оценка назы-
вается несмещенной, если ее математическое ожидание совпадает с
Θ
: M[
Ψ
n
] =
Θ
.
Оценка называется состоятельной, если:
P(⏐
Ψ
n
−Θ
⏐
≤
ε
)
→1
при n
→∞
.
Оценка называется эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию
среди всех оценок данного типа. Понятия несмещенности, состоятельности и
эффективности характеризуют качество оценки
Ψ
n
. Пусть над случайной вели-
чиной
Х проведено n наблюдений с результатами x
1
, x
2
, ..., x
n
. Тогда для мате-
матического ожидания
M[x] выборочное среднее является состоятельной и не-
смещенной оценкой:
m .x
n
1
n
1i
ix
∑
=
∗
=
Для дисперсии D[X] мы знаем две оценки: и S
2
. Однако оценка
не является несмещенной. Покажем это для случая, когда
M[x] = 0.
*
x
D
*
x
D
Действительно:
*
x
D = =
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=−
∑∑∑
===
∗
2
n
1i
i
n
1i
2
i
n
1i
x
2
i
x
n
1
x
n
1
mx
n
1
=⋅−−
∑∑∑
==
n
1iji
ji
2
2
i
2
n
1i
2
i
xx
n
1
2x
n
1
x
n
1
<
=
.xx
n
2
x
n
1n
j
ij
i
2
n
1i
2
i
2
∑∑
−
−
= >
24
Величина S2 вводится потому, что при вычислении D*x всегда возникает
систематическая ошибка, приводящая к уменьшению дисперсии, особенно для
малых выборок. Так, при n = 25 D*x и S2 отличаются примерно на 4 %. Величи-
на S2 ближе к истинной дисперсии случайной величины Х.
Модой M *x называется xi значение, которому соответствует наибольшая
n
частота Px* = i .
n
Коэффициентом вариации V называется величина:
∗
σ
V = ∗x ⋅ 100 %. (2.1.6)
mx
Функции распределения случайных величин могут зависеть от некоторых чи-
словых характеристик. Например, нормальный закон распределения зависит от
двух параметров: m и σ, закон распределения Пуассона зависит от одного парамет-
ра λ, и т. д. Если значение некоторого параметра неизвестно, то при проведении
серии опытов это значение уточняется и может быть приближенно вычислено.
Оценкой параметра Θ называется функция выборочных значений
Ψ(x1, x2, ... , xn) = Ψn , которая в определенном смысле приближается к точечному
Θ значению. Оценка Ψn может отличаться от Θ в той или иной мере. Оценка назы-
вается несмещенной, если ее математическое ожидание совпадает с Θ : M[Ψn] = Θ.
Оценка называется состоятельной, если:
P(⏐Ψn −Θ⏐≤ ε) →1 при n→∞.
Оценка называется эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию
среди всех оценок данного типа. Понятия несмещенности, состоятельности и
эффективности характеризуют качество оценки Ψn. Пусть над случайной вели-
чиной Х проведено n наблюдений с результатами x1, x2, ..., xn. Тогда для мате-
матического ожидания M[x] выборочное среднее является состоятельной и не-
смещенной оценкой:
n
1
m ∗x =
n ∑x .
i =1
i
Для дисперсии D[X] мы знаем две оценки: D*x и S2. Однако оценка D*x
не является несмещенной. Покажем это для случая, когда M[x] = 0.
Действительно:
2 n n
1 n
1 n 2 ⎛1 n
⎞ 1 1 1
D*x =
n
∑
i =1
xi2 − m∗x = ∑
n i =1
xi − ⎜⎜
⎝n
i =1
∑
xi ⎟⎟ =
⎠ n ∑ i =1
xi2 − 2
n
∑
i =1
xi2 − 2 ⋅
n2
∑x x
i< j
i j =
n −1 n 2 2
= 2
n i =1
∑
xi − 2
n
∑x x .
j>i
i j
24
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- …
- следующая ›
- последняя »
