Основы научных исследований. Экспериментальное исследование технических устройств. Бакеев Д.А - 26 стр.

           2. 2. Интервальные оценки основных статистических
                  характеристик частоты автогенератора

   Ранее нами были получены оценки для математического ожидания, диспер-
сии и ряда других параметров случайных величин. Эти оценки представляли
собой числовые характеристики выборки, они давали числовое значение оце-
ниваемого параметра и ничего не говорили о точности и надёжности этого зна-
чения. Оценки подобного вида называются точечными. В ряде случаев очень
важно оценить степень точности и надёжности, именно: указать числовой ин-
тервал, в котором с заданной вероятностью лежит оцениваемая величина.
   В математической статистике для получения информации о точности и на-
дёжности оценок пользуются доверительными интервалами и доверительными
вероятностями.
   Пусть для параметра Θ получена оценка Ψn, и нас интересует допущенная
при этом ошибка. Зададимся некоторой вероятностью γ и найдём значение ε
такое, что
                              P(⏐Θ − Ψn ⏐ ≤ ε) = γ.                  (2.2.1)
   При этом большие по величине ошибки, возникающие от замены Θ на Ψn,
будут встречаться с малой вероятностью, равной 1 – γ.
   Соотношение (2.2.1) может быть представлено в виде:
                        P(Ψn − ε ≤ Θ ≤ Ψn + ε) = γ.
   Интервал, в который с вероятностью γ попадает значение Θ, называется до-
верительным интервалом Iγ:
                            Iγ = (Ψn − ε; Ψn + ε).
    Вероятность γ выполнения неравенства ⏐Θ − Ψn⏐≤ ε называется довери-
тельной вероятностью или надёжностью оценки Θ. Заметим, что величина Θ
является детерминированной, а оценка Ψn − случайной. Поэтому доверитель-
ный интервал является интервалом со случайными границами.
    Величина P =1 – γ называется уровнем значимости. На практике чаще все-
го применяются уровни значимости 0,05, 0,01 и 0,001.
    Нахождение доверительного интервала Iγ осложняется тем, что в формуле
(2.2.1) закон распределения ошибки ⏐Θ − Ψn⏐ зависит от закона распределения
случайной величины Х и, следовательно, от неизвестной величины Θ. На прак-
тике можно применять при n ≥ 20 следующий приём: в законе распределения
Х заменяется Θ на Ψn.
    В качестве примера рассмотрим построение доверительного интервала для
математического ожидания. Предположим, что для некоторой случайной ве-
                                     26