Основы научных исследований. Экспериментальное исследование технических устройств. Бакеев Д.А - 27 стр.

личины Х с неизвестной дисперсией D и математическим ожиданием M полу-
чены опытные наблюдения x1, x2, ..., xn.
   На основе этих опытов получены оценки:
                                                       n
                                             1
                                          ∗
                                         m =
                                             n      ∑x ;
                                                      i =1
                                                               i                  (2.2.2)



                                               ∑ (x − m ) .
                                                n
                                     2 1                           ∗ 2
                                   S =                     i                      (2.2.3)
                                       n       i =1


   Построим доверительный интервал Iγ для математического ожидания
M случайной величины Х. Прежде всего отметим, что поскольку m* представ-
ляет собой сумму одинаково распределённых случайных величин xi , то она
в силу центральной предельной теоремы распределена по закону, близкому
к нормальному.
   На практике m* можно считать нормально распределённой уже при n = 10.
Нормальный закон распределения характеризуется двумя параметрами: m и σ.
Значение σ выбирается в соответствии с формулой σ = S   .
                                                      n
   В качестве m выбираем m*. Используя формулу для вероятности попадания
нормально распределенной случайной величины в заданный интервал, получаем:

                                                                     ⎛ε   ⎞
                             P(⏐m − m* ⏐ ≤ ε) = 2Ф ⎜                      ⎟ −1.
                                                                     ⎝σ   ⎠
   Задавая значение γ и решая уравнение

                                              ⎛ε ⎞
                                     2Ф ⎜        ⎟ −1 = γ                         (2.2.4)
                                              ⎝σ ⎠
относительно ε, найдём приближённое решение задачи о нахождении довери-
тельного интервала:
                                  Iγ ≈ (m* − ε*; m* + ε*).                        (2.2.5)
   Здесь ε* есть решение уравнения (2.2.4).
   Если дисперсия D случайной величины Х известна, то в уравнении (2.2.4)
в качестве σ следует взять величину D .
   Пример 1. В результате проведенного эксперимента было проведено два-
дцать измерений частоты АГ (в МГц): 10,5; 10,8; 11,2; 10,9; 10,4; 10,6; 10,9;
11,0; 10,8; 10,3; 11,3; 10,6; 10,5; 10,7; 10,8; 10,9; 10,8; 10,9; 10,8; 10,7; 10,9; 11,0.
Требуется найти оценку математического ожидания параметра АГ и построить
доверительный интервал с доверительной вероятностью γ = 0,8.
   Решение.
   Вычисляем величину:
                                               27