Основы научных исследований. Экспериментальное исследование технических устройств. Бакеев Д.А - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КамчатГТУ | Петропавловск-Камчатский

Составители: 

Рубрика: 

m* = .78,10x
20
1
20
1i
i
=
∑
=
Поскольку величина D неизвестна, то в качестве
σ
введем оценку:
σ
= .0564,0S
1n
n
2
=
−
Из уравнения 2Ф(t
j
)
−
1 =
γ
находим по таблице для функции Лапласа
t
j
= 1,282.
Тогда
ε
j
= t
j
−
σ
= 0,072. Доверительный интервал имеет вид: I
j
≈
(m
*
−
ε
*
;
m
*
+
ε
*
) = (10,71;10,85).
Теперь покажем, как строится доверительный интервал для дисперсии.
Пусть над случайной величиной
Х проведено n опытов с результатами наблю-
дений
x
1
, x
2
, ..., x
n
. Параметры m и
σ
для величины Х неизвестны. Получим для
дисперсии
D несмещенную оценку:
∑
=
∗
−
−
=
n
1i
)m
i
x(
1n
1
S
2
2
, (2.2.6)
где
m* =
∑
=
⋅
n
1i
i
x
n
1
.
Входящие в сумму величины (x
i
−
m*)
2
не являются независимыми. Однако
при сумма практически распределена по нормальному закону. Оценка
20n ≥
2
S
для дисперсии является несмещённой M[S
2
] = D.
Дисперсия величины
D вычисляется по формуле:
[]
242
D
)1n(n
3n
n
1
SD
−
−
−=
μ
, (2.2.7)
где
μ
4
= M[(x
−
M[x])
4
] − так называемый четвертый центральный момент ве-
личины
Х. Чтобы использовать формулу (2.2.7), нужно знать хотя бы прибли-
женное значение для
μ
4
и D. Вместо D можно использовать S
2
, однако вычис-
лить
μ
4
оказывается много сложнее. Можно в принципе заменить
μ
4
его
оценкой вида:
μ
4*
=
∑
=
∗
−
n
1i
4
i
)mx(
n
1
. (2.2.8)
Однако эта формула имеет большую погрешность. Если величина Х распре-
делена по нормальному закону, то
μ
4
= 3D
2
, (2.2.9)
28
                                           20
                                    1
                              m* =
                                   20      ∑ x = 10 ,78.
                                           i =1
                                                    i



      Поскольку величина D неизвестна, то в качестве σ введем оценку:
                                          n 2
                              σ=             S = 0 ,0564.
                                        n −1
    Из уравнения 2Ф(tj) − 1 = γ находим по таблице для функции Лапласа
tj = 1,282.
    Тогда εj = tj − σ = 0,072. Доверительный интервал имеет вид: Ij ≈ (m* − ε*;
m* + ε*) = (10,71;10,85).
    Теперь покажем, как строится доверительный интервал для дисперсии.
Пусть над случайной величиной Х проведено n опытов с результатами наблю-
дений x1, x2, ..., xn. Параметры m и σ для величины Х неизвестны. Получим для
дисперсии D несмещенную оценку:

                                          1 n            ∗ 2
                                S =2
                                               ∑ ( xi − m ) ,           (2.2.6)
                                        n − 1i = 1

где
                                       1 n
                                   m* = ⋅ xi .
                                       n i =1       ∑
    Входящие в сумму величины (xi − m*)2 не являются независимыми. Однако
при n ≥ 20 сумма практически распределена по нормальному закону. Оценка
S 2 для дисперсии является несмещённой M[S2] = D.
    Дисперсия величины D вычисляется по формуле:

                               [ ] 1
                             D S2 = μ4 −
                                   n
                                           n−3
                                         n( n − 1 )
                                                    D2 ,                (2.2.7)

где μ4 = M[(x − M[x])4] − так называемый четвертый центральный момент ве-
личины Х. Чтобы использовать формулу (2.2.7), нужно знать хотя бы прибли-
женное значение для μ4 и D. Вместо D можно использовать S2, однако вычис-
лить μ4 оказывается много сложнее. Можно в принципе заменить μ4 его
оценкой вида:
                                                n
                                    1
                                μ =4*
                                    n       ∑( x − m
                                             i =1
                                                        i
                                                            ∗ 4
                                                             ) .        (2.2.8)

   Однако эта формула имеет большую погрешность. Если величина Х распре-
делена по нормальному закону, то
                                        μ4 = 3D2,                       (2.2.9)

                                            28

Страницы