Основы научных исследований. Экспериментальное исследование технических устройств. Бакеев Д.А - 37 стр.

           2.3. Основные законы распределения случайных величин,
         применяемые при статистической обработке результатов
                      экспериментальных исследований

   Выборочные характеристики параметров генеральной совокупности сами
являются случайными величинами, следовательно, имеют те или иные законы
распределения. В настоящей главе мы изучим наиболее часто встречающиеся
законы распределения таких характеристик.
   Нормальное распределение.
   Нормальный закон распределения случайных величин играет весьма важ-
ную роль в теории вероятностей и математической статистике. С одной сторо-
ны, этот закон наиболее часто встречается на практике, с другой – к этому за-
кону приближаются многие другие законы распределения в различных
предельных случаях. Например, этому закону подчиняется сумма или среднее
значение большого числа независимых или слабо зависимых случайных вели-
чин. Этот закон возникает в интегральной теореме Муавра-Лапласа и ряде дру-
гих важных задач.
   Нормальный закон характеризуется плотностью вероятности:

                                           1      ( x −m )           2


                                  f(х) =      ⋅ e− 2σ .          2


                                         σ 2π

    График этой функции симметричен относительно точки x = m, в которой
                                            1
f(x) достигает своего максимума, равного        . При x → ±∞ кривая y = f(x)
                                         σ ⋅ 2π
неограниченно приближается к оси Х.
    Величина m представляет собой математическое ожидание случайной вели-
чины Х, распределенной по нормальному закону, а σ – среднеквадратическое
отклонение этой величины. Действительно,
                           ∞                                ∞                    ( x − m )2
                                                       1
                M [ x] =   ∫    xf ( x )dx =
                                                  σ ⋅ 2π −∫∞
                                                                 x ⋅e        −
                                                                                    2σ 2      ⋅ dx =
                           −∞
                               x−m
                           =       = t,                dx = σ 2 dt =
                               σ 2
                                           ∞

                                           ∫ (m + σ          )
                             1⋅σ 2                                       2
                           =                               2t e −t dt =
                             σ ⋅ 2π      −∞
                                 ∞                                   ∞
                         σ 2               −t 2            m                      2

                           π −∫∞                                     ∫ e −t
                     =               t e            dt +                               dt .
                                                            π −∞


                                                  37