Основы научных исследований. Экспериментальное исследование технических устройств. Бакеев Д.А - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КамчатГТУ | Петропавловск-Камчатский

Составители: 

Рубрика: 

Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины Х
в интервал
(
α,
β
) определяется формулой:
P(
α
< X <
β
) =
∫
−
−
β
α
σ
πσ
dX
e
2
1
2
2
2
)mx(
.
С точки зрения вычислений правую часть этого выражения можно упро-
стить. Действительно,
F(х) =
∫
∞−
−
−
x
2
)mx(
dx
e
2
1
2
2
σ
πσ
.
Сделаем замену:
σ
mx
−
= t,
тогда
F(х) = .dt
e
2
1
mx
2
t
2
∫
−
∞−
−
σ
π
Интеграл вида
Ф(х) =
∫
∞−
−
x
2
t
dt
e
2
1
2
π
называется интегралом вероятностей, или интегралом ошибок Гаусса. Он не
вычисляется в элементарных функциях, однако хорошо изучен и для него со-
ставлены подробные таблицы. В теории вероятностей
Ф(х) называют иногда
нормальной функцией распределения. Ясно, что
Ф(х) есть функция распреде-
ления вероятности для нормально распределенной случайной величины с
m = 0 и
σ
= 1.
Очевидно:
F(X) = Ф
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
σ
mX
.
Окончательно:
P(
α
< X <
β
) =
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
σ
α
σ
β
mm
ФФ .
39
   Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины Х
в интервал (α, β) определяется формулой:
                                          β
                                              1    ( x −m )                      2


                      P(α < X < β ) =     ∫ σ 2π e− 2σ dX .                  2



                                          α

   С точки зрения вычислений правую часть этого выражения можно упро-
стить. Действительно,
                                 x
                                      1     ( x−m )                      2


                          F(х) = ∫        −
                                         e 2σ dx .                   2



                                 −∞ σ 2π

   Сделаем замену:
                                     x−m
                                               = t,
                                      σ
тогда
                                               x −m
                                                σ
                                        1                       t2
                            F(х) =
                                        2π      ∫       e
                                                            −
                                                                2    dt .
                                               −∞

   Интеграл вида
                                                    x
                                          1                 t2
                             Ф(х) =
                                          2π     ∫e     −
                                                            2        dt
                                                −∞

называется интегралом вероятностей, или интегралом ошибок Гаусса. Он не
вычисляется в элементарных функциях, однако хорошо изучен и для него со-
ставлены подробные таблицы. В теории вероятностей Ф(х) называют иногда
нормальной функцией распределения. Ясно, что Ф(х) есть функция распреде-
ления вероятности для нормально распределенной случайной величины с
m = 0 и σ = 1.
   Очевидно:

                                       ⎛ X −m⎞
                              F(X) = Ф ⎜     ⎟.
                                       ⎝  σ  ⎠
   Окончательно:

                                     ⎛β −m⎞    ⎛α − m ⎞
                     P(α < X < β) = Ф⎜    ⎟ − Ф⎜      ⎟.
                                     ⎝  σ ⎠    ⎝  σ   ⎠



                                          39

Страницы