Основы научных исследований. Экспериментальное исследование технических устройств. Бакеев Д.А - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КамчатГТУ | Петропавловск-Камчатский

Составители: 

Рубрика: 

Пример 2. Математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение
нормально распределенной случайной величины
Х равны соответственно 7 и 4.
Написать плотность распределения вероятности для
Х.
Решение.
Из формулы для плотности нормального закона распределения сразу же имеем:
f(x) =
e
24
1
32
)7x(
2
−
−
π
.
Распределение χ
2
.
Для вычисления точечных оценок дисперсии генеральной совокупности
используются выборочная или уточненная выборочная дисперсии. Обе эти
формулы содержат сумму квадратов значений признаков выборки.
Пусть случайные величины
х
i
(I = 1, 2, ..., n) независимы и распределены по
нормальному закону
N(0, 1). Найдем распределение случайной величины:
∑
=
=
n
1i
2
i
2
x
χ
.
Заметим, что χ
2
≥ 0, поэтому (χ
2
< 0) = 0. Следовательно, представляет инте-
рес изучение распределения χ
2
только на положительной полуоси. Обозначим:
Fn (x) = Р(χ
2
< x).
По нашему предположению, случайные величины х
i
имеют плотность рас-
пределения:
2
x
2
i
e
2
1
)
i
x(f
−
=
π
,
а их совместная плотность распределения определится соотношением:
)x
2
1
exp()
2
1
()x...,,x,x(f
2
i
n
1i
n
n21
=
−=
Σ
π
.
Поэтому можно записать:
∫
∑
∫
<
=
−=
x
2
n
1i
n1
2
i
n
n
dx...dx)x
2
1
exp()
2
1
()x(F
χ
π
K .
Заметим, что область интегрирования представляет круг радиуса x
1/2
в
n-мерном пространстве с центром в начале координат, причем переменная х
входит в
F
n
(x) только в качестве радиуса области интегрирования. Вычислим
приращение
F
n
(x), соответствующее приращению аргумента h:
41
   Пример 2. Математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение
нормально распределенной случайной величины Х равны соответственно 7 и 4.
Написать плотность распределения вероятности для Х.
   Решение.
   Из формулы для плотности нормального закона распределения сразу же имеем:
                                           1   −
                                                 ( x −7 )           2


                                  f(x) =      e 32 .
                                         4 2π
   Распределение χ2.
   Для вычисления точечных оценок дисперсии генеральной совокупности
используются выборочная или уточненная выборочная дисперсии. Обе эти
формулы содержат сумму квадратов значений признаков выборки.
   Пусть случайные величины хi (I = 1, 2, ..., n) независимы и распределены по
нормальному закону N(0, 1). Найдем распределение случайной величины:
                                                     n
                                         χ = ∑ xi2 .
                                           2

                                                  i =1

   Заметим, что χ2 ≥ 0, поэтому (χ2 < 0) = 0. Следовательно, представляет инте-
рес изучение распределения χ2 только на положительной полуоси. Обозначим:
                                    Fn (x) = Р(χ2 < x).
   По нашему предположению, случайные величины хi имеют плотность рас-
пределения:
                                                              xi2
                                            1 −2
                                     f(x )=    e ,
                                        i   2π
а их совместная плотность распределения определится соотношением:
                                                     1 n        1 n
                    f ( x1 , x2 , ..., xn ) = (         ) exp( − Σ xi2 ) .
                                                     2π         2 i =1
   Поэтому можно записать:
                                                                        n
                               1 n                            1
                Fn ( x ) = (
                               2π
                                  ) K ∫ ∫            exp( −
                                                              2
                                                                    ∑x
                                                                    i =1
                                                                            2
                                                                            i   )dx1 ...dxn .
                                            χ 2

Страницы