Основы научных исследований. Экспериментальное исследование технических устройств. Бакеев Д.А - 43 стр.

   Учитывая, что интеграл в последнем соотношении представляет собой
Г-функцию Эйлера:
                                               ∞

                                               ∫
                             Г ( т ) = e −t t m−1dt ,
                                               0

получим значение для С:
                                                     1
                                  C=       n
                                                           .
                                                     n
                                          22       Г( )
                                                     2
   Окончательно выражение для плотности распределения χ2 имеет вид:
                                                          n      x
                                                 1          −1 −
                          fn( x ) =    n
                                                         x e
                                                          2      2     .
                                                 n
                                      22       Г( )
                                                 2
   Этот закон распределения суммы квадратов n независимых нормально рас-
пределенных случайных величин называется χ2-распределением. Число n назы-
вается числом степеней свободы. Читателю предлагается убедиться, что
М[χ2] = n, D[χ2] = 2n.
   Если число степеней свободы n > 30, то можно воспользоваться прибли-
женной формулой:

                           χ2 ≈
                                  1
                                  2
                                      [               2
                                    ( 2 n − 1 )1 2 + z ,           ]
где z имеет стандартное нормальное распределение N(0, 1).
   χ2-распределение часто встречается в задачах проверки гипотез, а именно:
если
                                           n
                                1
                              ∗
                            D =
                                n         ∑( x − m
                                          i =1
                                                     i
                                                           ∗ 2
                                                               )

есть выборочная дисперсия, построенная для нормально распределенной гене-
                                                           nD ∗
ральной совокупности с дисперсией σ2, то случайная величина 2 распреде-
                                                            σ
лена по закону χ с n – 1 степенью свободы.
                2

   χ2-распределение с m степенями свободы имеет следующие числовые ха-
рактеристики:
   математическое ожидание        M [X ] = m ;

   дисперсию                              [ ]
                                   D X 2 = 2m ;


                                               43