Основы научных исследований. Экспериментальное исследование технических устройств. Бакеев Д.А - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КамчатГТУ | Петропавловск-Камчатский

Составители: 

Рубрика: 

асимметрию
m
8
1
=
β
;
эксцесс
m
12
2
=
β
.
T-распределение Стьюдента.
В задачах интервального оценивания математического ожидания нормально
распределенной генеральной совокупности при неизвестном среднем квадра-
тическом отклонении и многих других задачах необходимо знать распределе-
ние величины
v
nz
t =
,
где z распределена по закону N(0, 1), а v распределена по закону χ
2
с n степеня-
ми свободы, причем эти случайные величины являются независимыми.
Закон распределения случайной величины
t называется законом распреде-
ления Стьюдента с n степенями свободы.
Найдем плотность этого закона. Для этого определим совместную плот-
ность распределения случайных величин
z и ν. Поскольку z имеет плотность
распределения вероятности:
2
2
x
z
e
2
1
)x(f
−
=
π
,
а плотность распределения ν есть
2
x
1
2
n
2
n
ex
)
2
n
(Г2
1
)x(f
−−
=
ν
,
то совместная плотность распределения z и ν в силу независимости имеет вид:
2
1
2
n
2
n
2
e
)
2
n
(Г2
1
e
2
1
),z(f
2
z,
z
ν
ν
π
ν
ν
−−−
=
.
Поэтому
=<=<=<= )
n
x
z(P)x
nz
(P)xt(P)x(F
n,t
ν
ν
∫
<
−−−
=
n
x
z
1
2
n
22
z
dzdeC
2
ν
ν
νν
,
44
                                                    8
   асимметрию                                 β1 =    ;
                                                    m
                                                   12
   эксцесс                                     β2 = .
                                                   m
   T-распределение Стьюдента.
   В задачах интервального оценивания математического ожидания нормально
распределенной генеральной совокупности при неизвестном среднем квадра-
тическом отклонении и многих других задачах необходимо знать распределе-
ние величины
                                                   z n
                                              t=       ,
                                                     v
где z распределена по закону N(0, 1), а v распределена по закону χ2 с n степеня-
ми свободы, причем эти случайные величины являются независимыми.
   Закон распределения случайной величины t называется законом распреде-
ления Стьюдента с n степенями свободы.
   Найдем плотность этого закона. Для этого определим совместную плот-
ность распределения случайных величин z и ν. Поскольку z имеет плотность
распределения вероятности:

                                                                     x2
                                                       1    −
                                  fz( x ) =               e          2    ,
                                                       2π
а плотность распределения ν есть
                                                                 n      x
                                                   1               −1 −
                               fν ( x ) =      n
                                                                x e
                                                                 2      2     ,
                                                     n
                                              22   Г( )
                                                     2
то совместная плотность распределения z и ν в силу независимости имеет вид:
                                                   z2                         n     ν
                                        1 −2                     1              −1 −
                       fν ,z ( z ,ν ) =    e                              ν   2 e 2.
                                        2π                  n
                                                                  n
                                                           22   Г( )
                                                                  2
   Поэтому

                                                   z n                            x ν
                Ft ,n ( x ) = P( t < x ) = P(               < x ) = P( z <            )=
                                                     ν                              n
                                                z2 ν       n
                                               − −           −1
                                =C        ∫   e 2 2    ν   2 dzd      ν,
                                          x ν
                                     z<
                                            n


                                                   44

Страницы