Основы научных исследований. Экспериментальное исследование технических устройств. Бакеев Д.А - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КамчатГТУ | Петропавловск-Камчатский

Составители: 

Рубрика: 

∫
∑
+≤<
=
−=−+
hx
2
x
n1
n
1i
2
i
n
nn
dx...dx)x
2
1
exp()
2
1
()x(F)hx(F
χ
π
.
Применяя к последнему интегралу теорему о среднем значении, получим:
∫
+≤<
⋅+−=−+
hx
2
x
n1
n
nn
dx...dx)hx(
2
1
exp()
2
1
()x(F)hx(F
χ
θ
π
, (2.3.1)
где 0 < θ < 1 – некоторая константа.
Оценим интеграл:
∫
<
∑
=
=
=
x
n
1i
2
i
x
2
n1
dx...dx)x(I
χ
.
Поскольку I(x) является объемом шара радиуса x
1/2
в n-мерном пространст-
ве, то
I(x) пропорционален x
n/2
:
2
n
Cx)x(I = .
Поэтому из формулы (2.3.1) получим:
h
x)hx(
Ce
h
)x(F)hx(F
2
n
2
n
)hx(
2
1
nn
−+
=
−+
+−
θ
.
Вычисляя предел при h→0, получим:
.eCx)x(F)x(f
x
2
1
1
2
n
'
nn
−−
== (2.3.2)
Используя условие нормировки для плотности распределения вероятности
Fn (∞) = 1,
получим:
1dxexC
2
x
0
1
2
n
=
−
∞
−
∫
.
Сделав замену переменной z
2
x
= , приходим к равенству:
1dzzeC2
0
1
2
n
z
2
n
=
∫
∞
−
−
.
42
                                                                                           n
                                       1 n                                         1
           Fn ( x + h ) − Fn ( x ) = (
                                       2π
                                          )                     ∫           exp( −
                                                                                   2
                                                                                        ∑x
                                                                                        i =1
                                                                                                   2
                                                                                                   i   )dx1 ...dxn .
                                                                2
                                                          x< χ ≤ x + h

   Применяя к последнему интегралу теорему о среднем значении, получим:
                                           1 n       1
              Fn( x + h ) − Fn( x ) = (       ) exp(− ( x +θ ⋅ h ) ∫ dx1...dxn ,                                       (2.3.1)
                                           2π        2
                                                                  x<χ2≤x+h

где 0 < θ < 1 – некоторая константа.
   Оценим интеграл:

                                    I( x ) =
                                                              n
                                                               ∫ dx ...dx
                                                                    1         n   .
                                                       χ 2 = ∑ xi2 < x
                                                            i =1

    Поскольку I(x) является объемом шара радиуса x1/2 в n-мерном пространст-
ве, то I(x) пропорционален xn/2:
                                                                n
                                                  I(   x ) = Cx 2       .

   Поэтому из формулы (2.3.1) получим:
                                                                                         n          n
                                                             1
                    Fn ( x + h ) − Fn ( x )                 − ( x +θh ) (     x+      h )2     −   x2
                                                       = Ce  2                                          .
                              h                                                        h
   Вычисляя предел при h→0, получим:
                                                                        n     1
                                                                          −1 − x
                                    fn( x ) =          Fn' (   x ) = Cx 2 e 2 .                                        (2.3.2)

   Используя условие нормировки для плотности распределения вероятности
                                              Fn (∞) = 1,
получим:
                                              ∞    n      x
                                                     −1 −
                                          C   ∫
                                              0
                                                  x e dx
                                                   2      2         = 1.


                                          x
   Сделав замену переменной                 = z , приходим к равенству:
                                          2
                                       n ∞    n
                                                −1
                                                  ∫
                                           −z 2
                                      2 C e z dz
                                       2                                 = 1.
                                                  0



                                                          42

Страницы