Основы научных исследований. Экспериментальное исследование технических устройств. Бакеев Д.А - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КамчатГТУ | Петропавловск-Камчатский

Составители: 

Рубрика: 

Заметим, что
σ
β
m−
есть расстояние от точки X =
β
до m, измеренное
в среднеквадратических отклонениях
σ
. Аналогично определяется и
σ
α
m
−
.
Отсюда немедленно вытекает, что
P(
⏐
X – m
⏐
<
α
) = 2Ф 1−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
σ
α
.
Здесь мы использовали свойство симметричности:
Ф(–х) = 1 – Ф(х).
Для практических вычислений очень важны следующие соотношения:
P(
⏐
X – m
⏐
<
σ
)
≈
0,6826;
P(
⏐
X – m
⏐
< 2
σ
)
≈
0,9544;
P(
⏐
X – m
⏐
< 3
σ
) ≈ 0,9973.
Последнее из этих соотношений известно в математической статистике под
названием «правило трех сигм», а именно: с вероятностью
Р
≈
0,9973 отклоне-
ние нормально распределенной случайной величины от математического ожи-
дания не превышает трех среднеквадратических отклонений
σ
.
В общем случае справедлива формула:
P(
⏐
X-m
⏐
< k
σ
) = 2Ф1(k),
где
Ф1(x) =
∫
−
x
0
2
x
dx
e
2
1
2
π
.
Заметим, что
2
1
+ Ф1(х) = Ф(х).
Пример 1. Математическое ожидание и дисперсия нормально распределен-
ной случайной величины
Х равны 10 и 4 соответственно. Найти вероятность то-
го, что в результате эксперимента величина
Х примет значение между 12 и 14.
Решение.
Вычисляем значение среднеквадратического отклонения:
σ
=
[]
xD = 2.
Имеем
α
= 12;
β
= 14; m = 10;
σ
= 2.
Поэтому
σ
β
m−
= 2;
σ
α
m−
= 1; Ф(2) = 0,9772; Ф(1) = 0,8413.
Окончательно:
P(12 < X < 14) = Ф(2) – Ф(1) = 0,1359.
40
                β −m
      Заметим, что    есть расстояние от точки X = β до m, измеренное
                  σ
                                                                α −m
в среднеквадратических отклонениях σ. Аналогично определяется и      .
                                                                  σ
                                                    ⎛α ⎞
Отсюда немедленно вытекает, что P(⏐X – m⏐ < α) = 2Ф ⎜ ⎟ − 1 .
                                                    ⎝σ ⎠
      Здесь мы использовали свойство симметричности:
                                Ф(–х) = 1 – Ф(х).
      Для практических вычислений очень важны следующие соотношения:
                            P(⏐X – m⏐ < σ) ≈ 0,6826;
                            P(⏐X – m⏐ < 2σ) ≈ 0,9544;
                            P(⏐X – m⏐ < 3σ) ≈ 0,9973.
   Последнее из этих соотношений известно в математической статистике под
названием «правило трех сигм», а именно: с вероятностью Р ≈ 0,9973 отклоне-
ние нормально распределенной случайной величины от математического ожи-
дания не превышает трех среднеквадратических отклонений σ.
   В общем случае справедлива формула:
                            P(⏐X-m⏐ < kσ ) = 2Ф1(k),
где
                                                  x
                                              1         x
                                                        2




                                              2π ∫0
                                                      −
                               Ф1(x) =              e   2 dx .



                  1
      Заметим, что  + Ф1(х) = Ф(х).
                  2
    Пример 1. Математическое ожидание и дисперсия нормально распределен-
ной случайной величины Х равны 10 и 4 соответственно. Найти вероятность то-
го, что в результате эксперимента величина Х примет значение между 12 и 14.
    Решение.
    Вычисляем значение среднеквадратического отклонения: σ = D[x ] = 2.
    Имеем α = 12; β = 14; m = 10; σ = 2.
              β −m        α −m
    Поэтому          = 2;      = 1; Ф(2) = 0,9772; Ф(1) = 0,8413.
                σ          σ
      Окончательно:
                      P(12 < X < 14) = Ф(2) – Ф(1) = 0,1359.



                                         40

Страницы