Основы научных исследований. Экспериментальное исследование технических устройств. Бакеев Д.А - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КамчатГТУ | Петропавловск-Камчатский

Составители: 

Рубрика: 

поэтому функция распределения для
F при х > 0 имеет вид:
=<=<=<= )xnvmu(P)x
nv
mu
(P)xF(P)x(K
∫∫
≤
−
−
−−
=
xnvmu
2
v
2
u
1
2
m
1
2
n
dudveevuС .
Вычислим приращение функции К(х):
∫∫
∞
+
−−−−
=−+
0
n
v)hx(m
n
mxv
2
u
1
2
n
2
v
1
2
m
dueudvevC)x(K)hx(K .
Применяя к последнему интегралу теорему о среднем, получим:
∫
∞
+
−
−−−
+
=−+
0
n2
v)hx(m
1
2
n
2
v
1
2
m
dv
n
mhv
e)
n
v)hx(m
(ev)x(K)hx(K
θ
θ
.
Разделив обе части последнего соотношения на h и вычисляя предел при
h→0, получим:
∫
∞
−
+
+−
−
=
0
1
2
nm
)
n
mx
1(
2
v
1
2
n
0
dvvexС)x(
m,n
k
.
После замены переменной
)
n
xm
1(
2
v
z +=
приходим к выражению
2
mn
1
2
n
)
n
xm
1(
x
m,n
0
2
mn
1
2
mn
z
1
2
n
1m,n
Cdz
)
n
xm
1(
z
exC)x(k
+
−
+
=
+
=
∫
∞
+
−
+
−
−
.
Окончательно плотность распределения вероятности случайной величины,
F-распределенной со степенями свободы
n и m, имеет вид:
0xпри,0)x(k
m,n
≤= ,
47
поэтому функция распределения для F при х > 0 имеет вид:
                                                       mu
                  K ( x ) = P( F < x ) = P(               < x ) = P( mu < xnv ) =
                                                       nv
                                                  n    m    −u v
                                                    −1   −1    −
                                =С         ∫∫   u 2 v 2 e 2 e 2 dudv .
                                     mu ≤ xnv

   Вычислим приращение функции К(х):
                                                                    m( x + h )v
                                       ∞ m −1 − v                       n         n
                                                                                    −1 −
                                                                                         u

                                                 ∫
              K ( x + h ) − K ( x ) = C v 2 e 2 dv                     ∫        u 2 e 2 du .
                                                 0                    mxv
                                                                       n

   Применяя к последнему интегралу теорему о среднем, получим:
                                   ∞ m      v                           n       m( x +θ h )v
                                       −1 −           m( x + θ h )v 2 −1 −                     mhv
         K( x + h ) − K( x ) = ∫    v e (
                                     2      2                      ) e              2n             dv .
                                   0
                                                           n                                    n

  Разделив обе части последнего соотношения на h и вычисляя предел при
h→0, получим:
                                                 n ∞ v       mx m + n
                                                   −1 − ( 1+   )      −1
                       kn ,m ( x ) = С0         x2     ∫
                                                      e 2    n v 2      dv .
                                                       0

   После замены переменной
                                                   v    xm
                                                z = (1+    )
                                                   2     n
приходим к выражению
                                                      n+m                              n
                                  n ∞                     −1                             −1
                                   −1                z 2                              x2
             kn ,m ( x ) = C1          ∫
                                x 2 e− z
                                                      xm
                                                             n+m
                                                                   dz = Cn ,m
                                                                                      xm
                                                                                            n+ m   .
                                       0
                                                (1+         ) 2                 (1+        ) 2
                                                       n                               n

   Окончательно плотность распределения вероятности случайной величины,
F-распределенной со степенями свободы n и m, имеет вид:

                                       kn ,m ( x ) = 0 , при x ≤ 0 ,




                                                       47

Страницы