Основы научных исследований. Экспериментальное исследование технических устройств. Бакеев Д.А - 51 стр.

   Пример 2. Из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка
объема n = 21, по ней найдена исправленная выборочная дисперсия σ2 = 16,2.
Требуется при уровне значимости α = 0,01 проверить нулевую гипотезу
Н0 : σ2 = σ0215, приняв в качестве конкурирующей гипотезы Н1 : σ2 > 15.
   Решение.
   Вычисляем значение наблюдаемого критерия:

                                     ( n − 1 )σ 2         ( 21 − 1 )16 ,2
                      χ 2
                          набл   =           2
                                                      =                   = 21,6 .
                                         σ   0                  15

   По таблице, используя уровень значимости α = 0,01; по числу степеней сво-
боды k = n − 1 = 20 находим критическую точку: χ2кр (0,01; 20) = 37,6.
   Поскольку χ2набл < χ2кр, нет необходимости отвергать нулевую гипотезу.
   2. Конкурирующая гипотеза Н1 : σ 2 ≠ σ 02
   Для принятия решения по уровню значимости α находим левую и правую
критические точки:
                                           α                           α
                          χ2лев. кр (1 –         ; k) и χ2прав. кр (       ; k).
                                             2                         2
   Если χ2лев. кр < χ2набл < χ2прав. кр, то нулевая гипотеза сохраняется, в противном
случае она отвергается.
   3. Конкурирующая гипотеза Н1 : σ2 < σ02.
   Находим критическую точку χ2кр (1 – α; k).
   Если χ2набл > χ2кр (1 – α; k), нет оснований отвергать нулевую гипотезу,
в противном случае она отвергается.
   Теперь займемся сравнением математических ожиданий. Прежде всего,
рассмотрим алгоритм проверки нулевой гипотезы о равенстве математических
ожиданий двух генеральных совокупностей Х и У Н0 : M[X] = M[У].
   Поскольку выборочное среднее является несмещенной оценкой математи-
ческого ожидания, то нулевую гипотезу можно переписать в терминах выбо-
рочных средних: Н0 : Х = У .
   Предположим вначале, что дисперсии известны. В качестве критерия про-
верки нулевой гипотезы выберем случайную величину:
                                               X −У
                                 Z=                      ,                           (2.4.3)
                                           D[ X ] D[ У ]
                                                  +
                                             n      m
где n и m – объемы выборок из Х и У соответственно. Критерий Z является
нормальной случайной величиной с нулевым математическим ожиданием
и единичной дисперсией.
   В зависимости от вида конкурирующей гипотезы Н1 возможны следующие
случаи:

                                                   51