Основы научных исследований. Экспериментальное исследование технических устройств. Бакеев Д.А - 59 стр.

   Сумма S является функцией коэффициентов многочлена (2.5.1) и при неко-
торых значениях коэффициентов a0, a1,… ae, достигает наименьшего значения.
Эти значения находятся из решения системы уравнений:
                                                         ∂S
                                                               = 0;
                                                         ∂ ao
                                                          ∂S
                                                               = 0;                                                   (2.5.3)
                                                          ∂ a1
                                                    ..............
                                                            ∂S
                                                                 = 0.
                                                            ∂ aе
   Система (2.5.3) представляет собой необходимое условие экстремума функ-
ции (2.5.2) и может быть переписана в более подробном виде. Действительно, т. к.
                   ∂S
                        = 2∑ ( уi − a0 xie − a1 xie−i − K − a e )(− xil −1 ),
                             m

                   ∂a j    i =1


то система (2.5.3) принимает вид:
                       m                     m                              m                   m
                  ao   ∑
                       i =1
                              xi2 e   + a1   ∑
                                             i =1
                                                    xi2 e−1    + K + ae     ∑
                                                                            i =1
                                                                                   xie     =   ∑у х ;
                                                                                               i =1
                                                                                                         e
                                                                                                       i i

                         m                          m                              m                  m
                  ao   ∑
                       i =1
                              xi2 e−1     + a1   ∑
                                                 i =1
                                                        xi2 e−2   + K + ae    ∑
                                                                              i =1
                                                                                         xie−1   =    ∑у x
                                                                                                      i =1
                                                                                                               e −1
                                                                                                             i i ;    (2.5.4)
                              m                    m                          m                m
                       ao     ∑x
                              i =1
                                      e
                                      i   + a1   ∑x
                                                 i =1
                                                          e −1
                                                          i      + K + ae    ∑1 = ∑ у .
                                                                             i =1              i =1
                                                                                                      i



   Доказано, что эта система уравнений всегда имеет единственное решение,
поэтому теоретическая линия регрессии вида (2.5.1) единственна. Наиболее про-
стой вид система (2.5.4) принимает для случая линейной регрессии y = ax + b.
В этом случае
                                                        m
                                             S=         ∑
                                                        i =1
                                                               ( уi − axi   − b) .
                                                                                       2




   Вычисляя производные:
                                     ∂S      m
                                        = 2∑ ( уi − axi − b )(− xi ) ,
                                     ∂a    i =1
                                      ∂S        m
                                         = 2∑ уi − axi − b )(− 1)
                                      ∂b      i =1

и приравнивая их к нулю, получаем систему уравнений:

                                                               59