Основы научных исследований. Экспериментальное исследование технических устройств. Бакеев Д.А - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КамчатГТУ | Петропавловск-Камчатский

Составители: 

Рубрика: 

Однофакторный дисперсионный анализ
При однофакторном дисперсионном анализе исследуется влияние на ре-
зультирующий признак одного качественного фактора. В основе однофактор-
ного анализа лежит следующая теоретико-вероятностная схема:
Y
ji
= a
i
+
ε
ji
;
i = 1, 2, …, I;
j = 1, 2, …, n
i
;
nn
I
1i
i
=
∑
=
;
где:
Y
ji
− значения результирующего признака;
a
i
− математические ожидания результирующего значения при i-м значении
качественного фактора;
ε
ji
− случайные отклонения результирующего признака от среднего значе-
ния;
n
i
− число наблюдений при i−м значении качественного фактора;
n − общее число наблюдений.
Всюду в дальнейшем мы будем полагать, что
ε
ji
являются нормально рас-
пределенными случайными величинами с нулевыми математическими ожида-
ниями и одинаковыми дисперсиями:
М[
ε
ji
] = 0;
D[
ε
ji
] =
σ
2
.
В результате осуществления выборочного эксперимента получим I групп
выборочных значений результирующего признака
Y
ji
(i = 1, 2, …, I; j = 1, 2, …, n
i
)
.
По указанной выборке необходимо проверить справедливость гипотезы
H
0
: a
1
= a
2
= … = a
I
= a, т. е. что качественный фактор не влияет на результи-
рующий признак.
Введем для каждой группы и для всей выборки в целом выборочные средние:
;y
n
1
y
I
1i
n
1j
ji
i
∑∑
==
=
.y
n
1
y
i
n
1j
ji
i
i
∑
=
=
Известно, что выборочные групповые средние
i
y являются несмещенными
и состоятельными оценками средних
a
i
. Если, согласно гипотезе Н
0
, все сред-
ние одинаковы
(a
i
= a), то общее выборочное среднее y не должно статистиче-
ски отличаться от групповых
i
y . В противном случае отличие должно быть
статистически значимым и может быть установлено методами проверки стати-
стических гипотез.
Представим полную сумму квадратов отклонений результирующего при-
знака от общего среднего в форме двух сумм квадратов отклонений:
66
   Однофакторный дисперсионный анализ
   При однофакторном дисперсионном анализе исследуется влияние на ре-
зультирующий признак одного качественного фактора. В основе однофактор-
ного анализа лежит следующая теоретико-вероятностная схема:
                                       Yji = ai + εji;
                                      i = 1, 2, …, I;
                                     j = 1, 2, …, ni;
                                           I

                                          ∑n = n ;
                                          i =1
                                                 i


где: Yji − значения результирующего признака;
   ai − математические ожидания результирующего значения при i-м значении
качественного фактора;
   εji − случайные отклонения результирующего признака от среднего значе-
ния;
   ni − число наблюдений при i−м значении качественного фактора;
   n − общее число наблюдений.
   Всюду в дальнейшем мы будем полагать, что εji являются нормально рас-
пределенными случайными величинами с нулевыми математическими ожида-
ниями и одинаковыми дисперсиями:
                                          М[εji] = 0;
                                          D[εji] = σ2.
   В результате осуществления выборочного эксперимента получим I групп
выборочных значений результирующего признака Yji(i = 1, 2, …, I; j = 1, 2, …, ni).
По указанной выборке необходимо проверить справедливость гипотезы
H0 : a1 = a2 = … = aI = a, т. е. что качественный фактор не влияет на результи-
рующий признак.
   Введем для каждой группы и для всей выборки в целом выборочные средние:
                               I     ni                    ni
                          1                           1
                       y=
                          n
                              ∑∑
                              i =1   j =1
                                          y ji ; yi =
                                                      ni
                                                           ∑y
                                                           j =1
                                                                  ji .



   Известно, что выборочные групповые средние yi являются несмещенными
и состоятельными оценками средних ai. Если, согласно гипотезе Н0, все сред-
ние одинаковы (ai = a), то общее выборочное среднее y не должно статистиче-
ски отличаться от групповых yi . В противном случае отличие должно быть
статистически значимым и может быть установлено методами проверки стати-
стических гипотез.
   Представим полную сумму квадратов отклонений результирующего при-
знака от общего среднего в форме двух сумм квадратов отклонений:



                                                 66

Страницы