Основы научных исследований. Экспериментальное исследование технических устройств. Бакеев Д.А - 67 стр.

            I   ni                          I        ni                                                                      I   ni
       2
     S =   ∑∑( y
           i =1 j =1
                       ji   − y) =     2
                                           ∑∑(( y
                                           i =1 j =1
                                                                     ji    − yi ) + ( yi − y )) =                 2
                                                                                                                           ∑∑( y
                                                                                                                            i =1 j =1
                                                                                                                                        ji   − yi )2 +

                             I        ni                                       I            ni
                       +    ∑ ∑( y − y )
                            i =1 j =1
                                            i
                                                            2
                                                                +2        ∑∑( y − y )( y
                                                                              i =1 j =1
                                                                                                      i               ji   − yi ).

   Читателю предлагается убедиться, что последняя сумма, соответствующая
удвоенным произведениям, при раскрытии квадратов сумм обращается в нуль.
Поэтому имеем:
                        I        ni                                                I         ni
                 2
                S =    ∑∑( y
                       i =1 j =1
                                           ji   − yi ) +         2
                                                                              ∑∑( y − y )
                                                                              i =1 j =1
                                                                                                          i
                                                                                                                  2
                                                                                                                           = S R2 + S A2 .

   Сумма S R2 определяет сумму квадратов отклонений между отдельным на-
блюдением и средним значением внутри конкретной серии и называется сум-
мой квадратов отклонений внутри серий. Иногда она называется остаточным
отклонением.
   Сумма S А2 определяет сумму квадратов отклонений между средними значе-
ниями серий и общим средним. Она называется рассеиванием по факторам.
   Заметим, что величина
                                                                    ni
                                                          1
                                                        σ   2   ∑( y
                                                                 j =1
                                                                                       ji   − yi )2

имеет распределение χ2 с ni −1 степенью свободы. Отсюда вытекает, что сумма
таких выражений по переменной суммирования i, которая имеет вид:
                                                                 I        ni
                                                SR2
                                                σ   2
                                                          =   ∑∑( y
                                                                i=1 j =1
                                                                                             ji   − yi )2 ,

также распределена по закону χ2 с n − I степенями свободы.
   Аналогично величина
                                                                          I            ni
                                            S A2                1
                                           σ     2
                                                        =
                                                            σ    2   ∑∑( y − y )
                                                                         i =1 j =1
                                                                                                  i
                                                                                                              2




распределена по закону χ2 с I − 1 степенями свободы.
   Отношение двух случайных величин, распределенных по закону χ2, распре-
делено по закону Фишера, а именно: величина

                                                                      S A2
                                                                 F = I −2 1
                                                                      SR
                                                                     n−I
                                                                              67