Основы научных исследований. Экспериментальное исследование технических устройств. Бакеев Д.А - 72 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КамчатГТУ | Петропавловск-Камчатский

Составители: 

Рубрика: 

Двухфакторный дисперсионный анализ.
В случае, когда возникает необходимость учитывать влияние на результи-
рующий признак двух факторов, приходим к двухфакторному дисперсионному
анализу. Теоретико-вероятностная схема в этом случае имеет вид:
Y
jik
= a
ik
+
ε
jik
;
i = 1, 2, …, I;
k = 1, 2, …, K;
j = 1, 2, …, n
ik
;
где: Y
jik
− значения результирующего признака;
a
ik
− математические ожидания результирующего значения при i-м значе-
нии качественного первого фактора и
k-м значении второго фактора;
ε
jik
− случайные отклонения результирующего признака от среднего значе-
ния, которые предполагаются независимыми случайными величинами с нуле-
выми математическими ожиданиями и одинаковыми дисперсиями:
М[
ε
jik
] = 0; D[
ε
jik
] =
σ
;
n
ik
− число наблюдений при i-м значении первого качественного фактора
и
k-м значении второго, n
ik
− общее число наблюдений в i, k-й клетке.
Математические ожидания результирующего значения можно представить
в виде
a
ik
= a +
α
i
+
β
k
+
γ
ik
, при этом
,0
I
1i
K
1k
I
1i
K
1k
ikikki
====
∑∑∑∑
=== =
γγβα
где:
∑
=
k,i
ik
a
IK
1
a − генеральное среднее;
)aa
K
1
(
k
iki
∑
−=
α
− главные эффекты первого фактора;
)aa
I
1
(
i
ikk
∑
−=
β
− главные эффекты второго фактора;
)a
IK
1
a
K
1
a
I
1
a(
ik k,i
ikikk,iikik
∑∑∑
+−−=
γ
− эффекты взаимодействия.
Можно доказать, что наилучшими оценками эффектов являются оценки,
полученные методом наименьших квадратов (МНК-оценки), а именно:
;y
IK
1
a
k,i
ik
∑
=
)
);ay
K
1
(
k
iki
∑
−=
)
)
α
72
   Двухфакторный дисперсионный анализ.
   В случае, когда возникает необходимость учитывать влияние на результи-
рующий признак двух факторов, приходим к двухфакторному дисперсионному
анализу. Теоретико-вероятностная схема в этом случае имеет вид:
                                                                   Yjik = aik + εjik;
                                                                    i = 1, 2, …, I;
                                                                   k = 1, 2, …, K;
                                                                   j = 1, 2, …, nik;
где: Yjik − значения результирующего признака;
   aik − математические ожидания результирующего значения при i-м значе-
нии качественного первого фактора и k-м значении второго фактора;
   εjik − случайные отклонения результирующего признака от среднего значе-
ния, которые предполагаются независимыми случайными величинами с нуле-
выми математическими ожиданиями и одинаковыми дисперсиями:
                                                            М[εjik] = 0; D[εjik] = σ;
    nik − число наблюдений при i-м значении первого качественного фактора
и k-м значении второго, nik − общее число наблюдений в i, k-й клетке.
    Математические ожидания результирующего значения можно представить
в виде aik = a + αi + βk + γik, при этом
                                                  I                K                I                       K

                                                 ∑αi = ∑ β k = ∑ γ ik = ∑ γ ik = 0 ,
                                                 i =1          k =1             i =1                       k =1

            1
где: a =
           IK
                ∑a
                i ,k
                           ik       − генеральное среднее;

          1
   αi = (
          K
                ∑a
                 k
                           ik       − a ) − главные эффекты первого фактора;

          1
   βk = (
          I
                ∑a
                i
                       ik       − a ) − главные эффекты второго фактора;

                       1                         1                      1
   γ ik = ( aik −
                       I
                           ∑a   i
                                      i ,k   −
                                                 K
                                                        ∑a
                                                        k
                                                              ik   +
                                                                       IK
                                                                            ∑a
                                                                             i ,k
                                                                                         ik     ) − эффекты взаимодействия.

   Можно доказать, что наилучшими оценками эффектов являются оценки,
полученные методом наименьших квадратов (МНК-оценки), а именно:
                                                                       ) 1
                                                                       a=
                                                                          IK
                                                                                    ∑y  i ,k
                                                                                                    ik ;


                                                                         1
                                                                              ∑y
                                                              )                                       )
                                                             αi = (                            ik   − a );
                                                                         K      k




                                                                               72

Страницы