Основы научных исследований. Экспериментальное исследование технических устройств. Бакеев Д.А - 89 стр.

   План первого порядка ортогонален, если все недиагональные элементы
матрицы X T X равны нулю. Это означает, что равны нулю суммы смешанных
произведений столбцов матрицы X .
   План типа 2 k не позволяет оценить ошибку эксперимента, для этого необ-
ходимо повторить некоторые из измерений. Обычно план дополняется не-
сколькими наблюдениями в центре плана (в точке xi = 0, i = 1,2 , ..., k ). Введе-
ние центральных точек в план типа 2 k не влияет на { θi } при i ≥ 1 ; оценка же
θ0 становится средним арифметическим всех наблюдений.
    Вычисляемое для линейного уравнения значение θ0 при реализации фак-
торного эксперимента в «почти стационарной области» является совместной
оценкой для свободного члена и суммы квадратичных членов, так как безраз-
мерные значения, стоящие в соответствующих столбцах матрицы ПФЭ, будут
одинаковыми. Поэтому разность θ0 – Y может дать представление о поверх-
ности отклика.
    Другим ортогональным планом первого порядка является симплекс. Сим-
плекс представляет собой правильную фигуру с k + 1 вершиной в k измерени-
ях. Так, при k = 2 симплексный план – равносторонний треугольник, а при
k = 3 – правильный тетраэдр.
    Из теории интерполяции известно, что для нахождения раздельных оценок
коэффициентов интерполяционного полинома, рассматриваемого как предпо-
лагаемая имитационная модель объекта исследования, число уровней измене-
ния каждой из независимых переменных должно быть на единицу больше по-
рядка полинома. Другими словами, для вычисления полинома второго порядка
число уровней должно быть как минимум три. В ПФЭ 3k при k = 2 потребует-
ся проведение как минимум девяти опытов, а для трех факторов их число воз-
растет до 27. Поэтому при увеличении числа учитываемых факторов примене-
ние ПФЭ 3k нерационально, так как это планирование характеризуется резким
увеличением объема эксперимента.
    Сократить число опытов можно, используя так называемые центральные
композиционные планы (ЦКП), ядром которых являются линейные ортогональ-
ные планы. Большое преимущество этих планов состоит в том, что если гипоте-
за о линейности математической модели в результате анализа эксперименталь-
ных данных не подтвердилась, то нет необходимости ставить все эксперименты
заново для получения модели более высокого порядка. Достаточно в этом слу-
чае добавить несколько специально спланированных экспериментальных точек,
чтобы получить план, соответствующий полиному второго порядка.
    Построение ЦКП можно пояснить на примере с двумя независимыми пере-
менными, соответствующими двум факторам x1 , x2 .
   Предположим, что для нахождения линейной модели применен ПФЭ 2 2 .
В результате анализа экспериментальных данных установлено, что имитацион-
ная математическая модель в виде полинома первого порядка не адекватна ис-
следуемому процессу. Тогда в центре плана, соответствующего начальному

                                       89