ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Если привлечь «геометрическое» определение потока, то рассуждения будут еще проще: так как
внутри поверхности S свободных зарядов нет, линии индукции не начинаются, не обрываются внутри
объема, ограниченного поверхностью, т.е. идут, не разрываясь. Число линий, входящих в объем, равно
числу линий, выходящих из него. Поток, образованный выходящими линиями, положителен, поток, об-
разованный входящими линиями – отрицателен. Следовательно, полный поток сквозь такую поверх-
ность равен нулю.
6 Если поток рассчитывается через замкнутую поверхность, то записывается так:
∫
=
S
n
dSDN
. (10.4)
Кружок у знака интеграла означает, что суммирование ведется по всем элементам поверхности S.
7 Теперь можно дать окончательную формулировку теоремы Гаусса и ее математическую запись.
Поток вектора индукции электростатического (и только электростатического!) поля через произволь-
ную замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме свободных зарядов, охватываемых этой по-
верхностью:
∫
==
S
n
qdSDN , (10.5)
где q – полный свободный заряд, находящийся в объеме, ограниченном поверхностью S.
8 Как видно из формулы (10.5), единицей потока индукции в системе СИ является кулон.
Кулон – это полный поток вектора D
r
, проходящий через произвольную замкнутую поверхность,
если внутри ее сосредоточен свободный заряд в 1 кулон.
11 ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ГАУССА К РАСЧЕТУ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ
1 Как уже отмечалось, теорема Гаусса облегчает математическое решение задачи расчета полей,
т.е. нахождение характеристик
E
r
и D
r
. Заметим, однако что она действительно облегчает эту задачу
только в том случае, если
а) электрическое поле обладает симметрией;
б) вспомогательная замкнутая поверхность выбрана правильно (форма поверхности должна быть
такова, чтобы ее элементы dS были либо параллельны, либо перпендикулярны линиям поля. Численное
значение индукции на всех площадках, перпендикулярных полю, должно быть одинаковым. Последнее
достигается выбором поверхности, симметричной относительно заряда, попадающего внутрь поверхно-
сти).
2 Расчет индукции и напряженности поля на основе теоремы Гаусса проводится по следующей
схеме:
• в зависимости от формы поля выбирается симметричная замкнутая поверхность, причем так,
чтобы точка, в которой рассчитывается
D
r
, принадлежала этой поверхности;
• вычисляется поток индукции через эту поверхность (заметим, что в основе вычисления лежит
только определение потока);
• определяется величин заряда, попавшего внутрь выбранной поверхности;
• в соответствии с теоремой Гаусса найденный поток приравнивается заряду, попавшему внутрь
поверхности;
• составленное уравнение решается относительно D;
• разделив найденное значение индукции на произведение εε
0
, находят напряженность поля:
0
εε
=
D
E
.
Рассмотрим ряд примеров.
3 Поле сферы, равномерно заряженной по поверхности (радиус сферы r
0
, заряд q).
Электрическое поле равномерно заряженной сферы симметрично относительно ее центра, значит,
геометрическое место точек, в которых численное значение индукции одинаково, представляет собой
тоже сферу, центр которой совпадает с центром заряженной сферы. Поэтому в качестве вспомогатель-
ной поверхности следует выбрать сферу.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- …
- следующая ›
- последняя »
