Физические основы микроэлектроники. Базир Г.И. - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

67
Вс е неэквивалентные значения компонентов вектора k
r
лежат в пределах:
a
k
a
x
π
π
≤≤− ;
a
k
a
y
π
π
≤≤− ;
a
k
a
z
π
π
≤≤− . (193)
Эквивалентность физических состояний, принадлежащих различным зо-
нам Бриллюэна, позволяет при движении электрона в
k
r
-пространстве рассмат-
ривать его траек торию только в пределах первой зоны.
Любой реальный кристалл является ограниченным, что приводит к тому,
что
k
r
электрона в кристалле может принимать тол ько дискретный ряд значе-
ний. Докажем это и определим число допустимых значений
k
r
.
Воспользуемся граничными условиями Борна-Кармана:
aNL
xx
= , aNL
yy
= , aNL
zz
= , (194)
где
x
N ,
y
N ,
z
N – число атомов, располагающихся на ребрах
x
L ,
y
L ,
z
L соот-
ветственно.
Следовательно:
),,(),,(
zyx
LzLyLxzyx +++
Ψ
=
Ψ
. (195)
В кристалле волновая функция имеет вид функции Блоха.
=
+++⋅=+++Ψ
+++++
),,(),,(
))()()((
zyx
k
LzkLykLxki
zyx
k
LzLyLxUeLzLyLx
zzyyxx
rr
),,(),,(
)(
zyxeezyxU
k
rki
LkLkLki
k
zzyyxx
r
r
r
r
Ψ=⋅=
++
. (196)
В (196) учтено, что условие ),,(),,(
zyxULzLyLxU
k
zyx
k
rs
=+++ выпол-
няется вследствие периодичности )(
rU
k
r
.
zyx
LLL ,, – содержат целое число периодов решетки. Следовательно, для вы-
полнения (196) необходимо принять:
1
)(
≡
++
zzyyxx
LkLkLki
e
(197)
или
1===
zz
yy
xx
Lik
Lik
Lik
eee
. (198)
Последнее равенство выполняется, если
1
2 nLk
xx
π
= ;
2
2 nLk
yy
π
= ;
3
2 nLk
zz
π
= , (199)
где
321
,, nnn - любые целые числа (0,± 1, ± 2,…).
Следовательно, разрешенные значения компонентов волнового вектора равны:
1
2
n
L
k
x
x
π
= ;
2
2
n
L
k
y
y
π
= ;
3
2
n
L
k
z
z
π
= . (200)
Таким образом, волновой вектор электрона изменяется не непрерывно, а
дискретно.
Учитывая связь )(
kEE
r
= ,приходим к выводу, что энергия электрона в
кристалле квантована.
Перепишем (200) с учетом (194):

Страницы